Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về các khía cạnh lý thuyết và số học của các thuật toán Gram–Schmidt tương tự trong không gian tách biện luận
Tóm tắt
Quy trình trực chuẩn Gram–Schmidt tương tự với một sản phẩm vô hướng đối xứng cho trước là bước quan trọng trong các phương pháp giảm mô hình, bảo toàn cấu trúc, cho bài toán giá trị riêng Hamilton lớn rải rác. Các khía cạnh lý thuyết cũng như số học của bước này chưa được chú ý đầy đủ, so với mức độ quan tâm dành cho thuật toán Gram–Schmidt cổ điển và phiên bản sửa đổi của nó. Mục tiêu của bài báo này là xem xét lại các thuật toán Gram–Schmidt giao hoà, xây dựng một số phiên bản sửa đổi và giải quyết các đặc trưng lý thuyết và số học của chúng.
Từ khóa
#Gram–Schmidt #tổ hợp tuyến tính #giảm mô hình #bài toán giá trị riêng Hamilton #thuật toán giao hoàTài liệu tham khảo
G. Ammar, P. Benner and V. Mehrmann, A multishift algorithm for the numerical solution of the algebraic Riccati equations, Electron. Trans. Numer. Anal. 1 (1993) 33–48.
G. Ammar, C. Mehl and V. Mehrmann, Schur-like forms for matrix Lie groups, Lie algebras and Jordan algebras, Linear Algebra Appl. 287 (1999) 11–39.
G. Ammar and V. Mehrmann, On Hamiltonian and symplectic Hessenberg forms, Linear Algebra Appl. 149 (1991) 55–72.
E. Artin, Geometric Algebra (Interscience, New York, 1957).
P. Benner, R. Byers, H. Faßbender, V. Mehrmann and D. Watkins, Cholesky-like factorisations of skew-symmetric matrices, Electron. Trans. Numer. Anal. 11 (2000) 85–93.
P. Benner and H. Faßbender, An implicitly restarted symplectic Lanczos method for the Hamiltonian eigenvalue problem, Linear Algebra Appl. 263 (1997) 75–111.
Å. Björck, Solving linear least squares problem by Gram–Schmidt orthogonalization, BIT 7 (1967) 1–21.
Å. Björck, Numerics of Gram–Schmidt orthogonalization, Linear Algebra Appl. 197/198 (1994) 297–316.
C. Brezinski, Computational Aspects of Linear Control (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Hardbound, 2002).
A. Bunse-Gerstner, An analysis of the HR algorithm for computing the eigenvalues of a matrix, Linear Algebra Appl. 35 (1981) 155–173.
A. Bunse-Gerstner, Matrix factorizations for symplectic QR-like methods, Linear Algebra Appl. 83 (1986) 49–77.
A. Bunse-Gerstner and V. Mehrmann, A symplectic QR-like algorithm for the solution of the real algebraic Riccati equation, IEEE Trans. Automat. Control 31 (1986) 1104–1113.
R. Byers, A Hamiltonian QR algorithm, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 7 (1986) 212–229.
J. Della-Dora, Numerical linear algorithms and group theory, Linear Algebra Appl. 10 (1975) 267–283.
R. Freund, Lanczos-type algorithms for structured non-Hermitian eigenvalue problems, in: Proc. of the Cornelius Lanczos Internat. Centenary Conference, eds. J. Brown, M. Chu, D. Ellison and R. Plemmons (SIAM, Philadelphia, PA, 1994) pp. 243–245.
R. Freund and N. Nachtigal, Software for simplified lanczos and QMR algorithms, Appl. Numer. Math. 19 (1995) 319–341.
G. Golub and C. Van Loan, Matrix Computations, 3rd ed. (Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1996).
E. Grimme, D. Sorensen and P. Van Dooren, Model reduction of state space systems via an implicitly restarted Lanczos method, Numer. Algorithms 12 (1996) 1–31.
N.J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (SIAM, Philadelphia, PA, 1996).
H. Kwakernaak and R. Sivan, Linear Optimal Control Systems (Wiley-Interscience, New York, 1972).
P. Lancaster and L. Rodman, The Algebraic Riccati Equation (Oxford Univ. Press, Oxford, 1995).
C. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators, J. Res. Nat. Bur. Standards 45 (1950) 255–282.
A. Laub and K. Meyer, Canonical forms for symplectic and Hamiltonian matrices, Celest. Mech. 9 (1974) 213–238.
D.S. Mackey, N. Mackey and F. Tisseur, G-reflectors: Analogues of Householder transformations in scalar product spaces, Linear Algebra Appl. 385 (2004) 187–213.
V. Mehrmann, Der SR-algorithms zur Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix, Diplomarbeit, Universität Bielefeld (1979).
V. Mehrmann and D. Watkins, Structure-preserving methods for computing eigenpairs of large sparse skew-Hamiltonian/Hamiltonian pencils, SIAM J. Sci. Comput. 22 (2001) 1905–1925.
G. Mei, A new method for solving the algebraic Riccati equation, Master’s thesis, Nanjing Aeronautical Institute, Nanjing, P.R. China (1986).
C. Paige and C. Van Loan, A Schur decomposition for Hamiltonian matrices, Linear Algebra Appl. 41 (1981) 11–32.
Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems (PWS, Boston, 1996).
C. Van Loan, A symplectic method for approximating all the eigenvalues of a Hamiltonian matrix, Linear Algebra Appl. 61 (1984) 233–251.