Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về cấu trúc của các siêu bề mặt hoàn chỉnh trong một đa tạp Riemann với độ cong không âm và các dạng hài L 2
Tóm tắt
Giả sử M_n là một siêu bề mặt hướng hoàn chỉnh không compact trong một đa tạp Riemann N_{n+1} hoàn chỉnh có độ cong phần không âm với $${2 \leq n \leq 5}$$. Chúng tôi chứng minh rằng nếu M thỏa mãn điều kiện ổn định, thì không có các dạng một hài L_2 không tầm thường trên M. Kết quả này là một sự tổng quát của một sự thật nổi tiếng trong trường hợp M là một siêu bề mặt tối thiểu ổn định. Như một hệ quả, chúng tôi chỉ ra rằng nếu độ cong trung bình của M là hằng số, thì hoặc M chỉ có một đuôi hoặc M phân tách thành tích của $${\mathbb{R}}$$ và một đa tạp compact có độ cong phần không âm. Trong trường hợp $${n \geq 5}$$, chúng tôi cũng chỉ ra rằng kết quả tương tự vẫn đúng nếu giá trị tuyệt đối của độ cong trung bình nhỏ hơn hoặc bằng tỷ lệ của chuẩn của dạng cơ bản thứ hai trên kích thước của một siêu bề mặt.
Từ khóa
#siêu bề mặt #đa tạp Riemann #độ cong không âm #dạng hài L 2 #độ cong trung bình #điều kiện ổn địnhTài liệu tham khảo
A. Ancona, Théorie du potentiel sur des graphes et des variétés, Springer Lecture Notes in Math. 1427, 1–112.
H-D Cao, Y Shen, and S. Zhu, The structure of stable minimal hypersurfaces in \({\mathbb{R}^{n+1}}\) , Math. Res. Lett. 4, (1997), 637–644.
Fischer-Colbrie D., Schoen R.: The structure of complete stable minimal surfaces in 3-manifolds of non-negative scalar curvature, Comm. Pure. Appl. Math. 33, 199–211 (1980)
Grigor’yon A.: On the existence of positive fundamental solutions of the Laplace equation on Riemannian manifolds, Math. USSR Sbornik 56, 349–358 (1987)
H. B. Lawson, Lectures on minimal submanifolds, Publish or Perish, 1980.
Leung P.-F.: An estimate on the Ricci curvature of a submanifold and some applications, Proc. Amer. Math. Soc. 114, 1051–1063 (1992)
P. Li, Curvature and Function Theory on Riemannian Manifolds, Surveys in Differential Geometry: Papers dedicated to Atiyah, Bott, Hirzebruch, and Singer Vol VII, International Press, 2000, pp. 375–432.
P. Li and L. F. Tam, Harmonic functions and the structure of complete manifolds, J. Diff. Geom. 35 (1992), 359–383.
Li P., Wang J.: Minimal hypersurfaces with finite index, Math. Res. Lett. 9, 95–103 (2002)
Li P., Wang J.: Stable minimal hypersurfaces in a nonnegatively curved manifold, J. Reine Ang. Math. 566, 215–230 (2004)
R. Miyaoka, Harmonic 1-forms on a complete stable minimal hypersurfaces, Geometry and Global Analysis (Sendai 1993), Tohoku Univ., 1993.
Palmer B.: Stability of minimal hypersurfaces, Comm. Math. Helv. 66, 185–188 (1991)
Seo K.: Rigidity of minimal submanifolds in hyperbolic space. Archiv der Mathematik 94, 173–181 (2010)
N. Th. Varopoulos, Potential theory and diffusion on Riemannian manifolds, Conference on harmonic analysis in honor of A. Zygmund, vol. I, II, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth, Belmont, Calif., 1983, pp. 821–837.
Yau S.-T.: Some function-theoretic properties of complete riemannian manifolds and their applications to geomety, Indiana Univ. Math. Jour. 25, 659–670 (1976)
Yun G.: Total scalar curvature and L 2 harmonic 1-forms on a minimal hypersurface in Euclidean space, Geom. Dedicata 89, 135–141 (2002)