Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về hàm egen cơ bản của một miền lồi trong không gian Euclid
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu hàm egen thứ nhất φ₁ của toán tử Laplace Dirichlet trên một miền lồi trong không gian Euclid. Các tính chất cơ bản của hàm Bessel cho thấy rằng \(\left\| {\phi _1 } \right\|_\infty /\left\| {\phi _1 } \right\|_2 \to \infty\) nếu D là một miền quạt trong mặt phẳng Euclid có diện tích 1 và góc có xu hướng tiệm cận 0. Chúng tôi hướng đến việc hình thành đặc trưng cho các miền D sao cho \( (vol(D))^{1/2} \left\| {\phi _1 } \right\|_\infty /\left\| {\phi _1 } \right\|_2 \) lớn theo tỉ lệ giữa giá trị egen thứ nhất của D và giá trị nhỏ nhất của các giá trị egen thứ nhất của tất cả các miền con D≈ của D với thể tích đã cho.
Từ khóa
#Eigenfunction #Dirichlet Laplacian #Bessel functions #convex domain #eigenvalue #Euclidean spaceTài liệu tham khảo
H. J.Brascamp and E. H.Lieb: ‘On extensions of the Brunn-Minkowski and Prékopa-Leindler theorems, including inequalities for log concave functions, and with an application to the diffusion equation,’ J. Funct. Anal. 22 (1976), 366–389.
R.Courant and D.Hilbert: Methods of Mathematical Physics, Interscience Publ., Inc., New York, 1953.
G. N. Watson: A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
YuQihuang and J. Q.Zhong: ‘Lower bounds of the gap between the first and second eigenvalues of the Schrödinger operator,’ Trans. Amer. Math. Soc. 294 (1986), 341–349.