Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về kỳ vọng của giá trị lớn nhất cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập
Tóm tắt
Chúng ta đều biết rằng đối với một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, ... với kỳ vọng bằng không, có điều kiện $$E\mathop {\sup }\limits_n ((S_n - an)^ + )^\gamma< \infty nếu và chỉ nếu E (X_1^ + )^{1 + \gamma }< \infty $$ cho bất kỳ α, γ > 0, trong đó Sn = X1 + X2 + ... + Xn. Trong ghi chú này, chúng tôi xem xét vấn đề này mà không cần giả định phân phối đồng nhất. Chúng tôi đưa ra một ví dụ về một chuỗi X1, X2, ... với E X i^2 = o(1) và E n sup (S n − n)+ = ∞ và sau đó rút ra kết quả cho thấy rằng đối với các biến ngẫu nhiên có thể tích hợp đồng nhất E sup (S n − an)+ < ∞ nếu E(X i +)2 + δ = 0(1) cho một số δ > 0. Chúng tôi sau đó áp dụng kết quả này vào một vấn đề dừng tối ưu trong thời gian liên tục.
Từ khóa
#biến ngẫu nhiên độc lập #kỳ vọng tối đa #tổng của các biến ngẫu nhiên #dừng tối ưuTài liệu tham khảo
Bahr, B. von, andC. Esseen: Inequalities for ther-th absolute moment of a sum of random variables, 1≤r≤2. Ann. Math. Statist.36, 1965, 299–303.
Chow, Y.S., andT.L. Lai: Some one-sided theorems on the tail distribution of sample sums with applications to the last time and largest excess of boundary crossings. Trans. Amer. Math. Soc.208, 1975, 51–72.
Chow, Y.S., H. Robbins, andD. Siegmund: Great Expectations. The Theory of Optimal Stopping. Houghton-Mifflin, Boston 1971.
Chow, Y.S., andH. Teicher: Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, New York 1978.
Irle, A.: On the infinitesimal characterization of monotone stopping problems in continuous time. In: Mathematical Learning Models—Theory and Algorithms, ed. by U. Herkenrath, D. Kalin and W. Vogel, Lecture Notes in Statistics 20, Springer, Berlin 1983.
Klass, M.J.: On stopping rules and the expected supremum ofS n /a n and |S n |/a n . Ann Probab.2, 1974, 889–905.