Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về sự tiến hóa của sóng khuếch tán phân đoạn
Tóm tắt
Trong vật lý, các hiện tượng khuếch tán và sự lan truyền sóng có tầm quan trọng lớn; những quá trình vật lý này được điều khiển trong những trường hợp đơn giản nhất bởi các phương trình vi phân riêng phần bậc 1 và 2 theo thời gian, tương ứng. Người ta đã biết rằng trong khi phương trình khuếch tán mô tả một quá trình mà tại đó sự rối loạn lan tỏa với tốc độ vô hạn, tốc độ lan truyền của sự rối loạn là một hằng số đối với phương trình sóng. Bằng cách thay thế các đạo hàm theo thời gian trong các phương trình chuẩn nói trên bằng các toán tử giả vi phân được hiểu là các đạo hàm có bậc không nguyên (hiện nay thường bị gọi nhầm là bậc phân đoạn), chúng ta dẫn đến các quá trình khuếch tán tổng quát có thể được diễn giải như là khuếch tán chậm và trung gian giữa khuếch tán và sự lan truyền sóng. Trong vật lý toán học, chúng ta có thể gọi những quá trình trung gian này là hiện tượng sóng khuếch tán phân đoạn. Việc sử dụng biến đổi Laplace trong phân tích các bài toán Cauchy và Signalling dẫn đến các hàm đặc biệt loại Wright. Trong công trình này, chúng tôi phân tích và mô phỏng cả hai tình huống mà trong đó hàm đầu vào là một hàm Dirac delta tổng quát và một hàm hộp, tự giới hạn mình trong bài toán Cauchy. Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi thu được các nghiệm cơ bản (hay còn gọi là hàm Green) của bài toán trong khi trong trường hợp sau, các nghiệm được thu được qua phép tích chập không gian của hàm Green với hàm đầu vào. Để làm rõ vấn đề cho những độc giả không chuyên, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn những khái niệm cơ bản và thiết yếu về phép tính phân đoạn (lý thuyết toán học liên quan đến tích phân và đạo hàm có bậc không nguyên) cùng với cái nhìn về lịch sử của ngành học này.
Từ khóa
#khuếch tán phân đoạn #sóng khuếch tán #phương trình vi phân #hàm Green #biến đổi Laplace #phép tính phân đoạnTài liệu tham khảo
Gorenflo, R., Mainardi, F.: Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order. In: Carpinteri, A., Mainardi, F. (eds.) Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, pp. 223–276. Springer, Wien (1997). [E-print: arXiv:0805.3823]
Ross, B.: A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus. In: Ross, B. (ed.) Fractional Calculus and its Applications. Lecture Notes in Mathematics, vol. 457, pp. 1–36. Springer Verlag, Berlin (1975). [Proc. Int. Conf. held at Univ. of New Haven, USA, 1974]
Machado, J.A.T., Kiryakova, V.: Recent history of the fractional calculus: data and statistics. In: Kochubei, A., Luchko, Yu. (eds.) Handbook of Fractional Calculus with Applications, Vol. 1: Basic Theory, pp. 1–21. De Gruyter, Berlin (2019)
Butzer, P.L., Westphal, U.: Introduction to fractional calculus. In: Hilfer, H. (ed.) Fractional Calculus, Applications in Physics, pp. 1–85. World Scientific, Singapore (2000)
Courant, R.: Differential and Integral Calculus, vol. 2, pp. 339–341. Nordemann, New York (1936)
Dzherbashyan, M.M., Nersesyan, A.B.: Fractional derivatives and the Cauchy problem for differential equations of fractional order. Izv. Acad. Nauk Armjanskvy SSR Mat. 3, 3–29 (1968). [In Russian]
Kochubei, A.N.: A Cauchy problem for evolution equations of fractional order. Differ. Equ. 25, 967–974 (1989). [English translation from the Russian Journal Differentsial’nye Uravneniya]
Kochubei, A.N.: Fractional order diffusion. Differ. Equ. 26, 485–492 (1990). [English translation from the Russian Journal Differentsial’nye Uravneniya]
Caputo, M.: Linear models of dissipation whose \(Q\) is almost frequency independent, Part II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 13, 529–539 (1967). [Reprinted in Fract. Calc. Appl. Anal.11 No 1, 4–14 (2008)]
Caputo, M.: Elasticità e Dissipazione. Zanichelli, Bologna (1969). [in Italian]
Caputo, M., Mainardi, F.: A new dissipation model based on memory mechanism. Pure Appl. Geophys. (PAGEOPH) 91, 134–147 (1971). [Reprinted in Fract. Calc. Appl. Anal.10 No 3, 309–324 (2007)]
Caputo, M., Mainardi, F.: Linear models of dissipation in anelastic solids. Riv. Nuovo Cimento (Ser. II) 1, 161–198 (1971)
Podlubny, I.: Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering, vol. 198. Academic Press, San Diego (1999)
Gorenflo, R., Kilbas, A.A., Mainardi, F., Rogosin, S.V.: Mittag–Leffler Functions, Related Topics and Applications. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Berlin (2014)
Luchko, Yu., Gorenflo, R.: An operational method for solving fractional differential equations with the Caputo derivatives. Acta Math. Vietnam. 24(2), 207–233 (1999)
Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J.: Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Series on Mathematics Studies No 204. Elsevier, Amsterdam (2006)
Diethelm, K.: The Analysis of Fractional Differential Equations. An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type. Lecture Notes in Mathematics No 2004. Springer, Berlin (2010)
Mainardi, F.: Foreword to the special issue “FCAA” issue dedicated to the 40 years of Caputo derivative and to the 80th anniversary of Prof. Caputo. Fract. Calc. Appl. Anal. 10(3), 203–208 (2007)
Mainardi, F., Gorenflo, R.: Time-fractional derivatives in relaxation processes; a tutorial survey. Fract. Calc. Appl. Anal. 10(3), 269–308 (2007). [E-print: arXiv:0801.4914]
Mainardi, F., Luchko, Yu., Pagnini, G.: The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation. Fract. Calc. Appl. Anal. 4, 153–192 (2001). [E-print arXiv:cond-mat/0702419]
Mainardi, F.: The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation. Appl. Math. Lett. 9(6), 23–28 (1996)
Mainardi, F.: Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion-wave phenomena. Chaos Solitons Fractals 7, 1461–1477 (1996)
Mainardi, F.: Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics. In: Carpinteri, A., Mainardi, F. (eds.) Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, pp. 291–348. Springer, Wien (1997). [E-print: arXiv:1201.0863]
Luchko, Y., Mainardi, F.: Cauchy and signaling problems for the time-fractional diffusion-wave equation. ASME J. Vib. Acoust. 136, 051008 (2014). https://doi.org/10.1115/1.4026892. [E-print: arXiv:1609.05443]
Mainardi, F.: Fractional Calculus and Wave Propagation in Linear Viscoelasticity. Imperial College Press, London (2010)
Prüss, J.: Evolutionary Integral Equations and Applications. Birkhauser Verlag, Basel (1993)
Fujita, Y.: Integro-differential equation which interpolates the heat equation and the wave equation, I, II. Osaka J. Math. 27(309–321), 797–804 (1990)
Mainardi, F.: On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation. In: Rionero, S., Ruggeri, T. (eds.) Waves and Stability in Continuous Media, pp. 246–251. World Scientific, Singapore (1994). [Proc. VII-th WASCOM, Int. Conf. “Waves and Stability in Continuous Media”, Bologna, Italy, 4-7 October 1993]