Về hàm số zeta Hurwitz—Lerch

Gọi $ \Phi(z,s,\alpha) = \sum\limits^\infty_{n = 0} {z^n \over (n + \alpha)^s} $ là hàm số zeta Hurwitz-Lerch và $ \phi(\xi,s,\alpha)=\Phi(e^{2\pi i\xi},s,\alpha) $ cho $ \xi\in{\Bbb R} $ là sự đồng nhất hóa của nó. $ \Phi(z,s,\alpha) $ giảm về hàm số zeta Hurwitz thông thường $ \zeta(s,\alpha) $ khi z= 1, và đặc biệt $ \zeta(s)=\zeta(s,1) $ là hàm số zeta Riemann. Mục đích của bài báo này là thiết lập sự tiếp diễn phân tích của $ \Phi(z,s,\alpha) $ trong ba biến z, s, α (Định lý 1 và 1*), và sau đó suy diễn các khai triển chuỗi lũy thừa cho $ \Phi(z,s,\alpha) $ theo biến đầu tiên và biến thứ ba (Corollaries 1* và 2*). Như các ứng dụng của các kết quả chính của chúng tôi, chúng tôi đánh giá dưới dạng đóng một số chuỗi lũy thừa liên quan đến $ \zeta(s,\alpha) $ (Định lý 5) và các giá trị đặc biệt của $ \phi(\xi,s,\alpha) $ tại $ s = 0, -1, -2,\ldots $ (Định lý 6).