Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về giả thuyết BMV cho ma trận 2 $$\times $$ 2 và tính lồi theo cấp số mũ của hàm $${\cosh (\sqrt{at^2+b})}$$
Tóm tắt
Giả thuyết BMV cho rằng đối với các ma trận Hermitian $$n\times n$$ $$A$$ và $$B$$, hàm $$f_{A,B}(t)={{\mathrm{trace\,}}}e^{tA+B}$$ có tính lồi theo cấp số mũ. Gần đây, giả thuyết BMV đã được Herbert Stahl chứng minh. Chứng minh của Herbert Stahl dựa trên những xem xét tinh vi liên quan đến mặt Riemann của các hàm đại số. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một chứng minh hoàn toàn "ma trận" của giả thuyết BMV cho các ma trận $$2\times 2$$. Chứng minh này dựa trên công thức tích Lie cho hàm mũ của tổng hai ma trận. Chứng minh cũng sử dụng các quan hệ giao hoán cho các ma trận Pauli và không sử dụng gì khác.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
(1965) (in Russian). English translation: Akhiezer, N.I.: The Clasical Moment Problem. Oliver and Boyd, Edinburgh (1965)
Bernstein, S.N.: Sur les functions absolument monotones. Acta Math. 52 (1928), 1–66. (In French)
AH CCCP, 1952
Bessis, D., Moussa, P., Villani, M.: Monotonic converging variational approximations to the functional integrals in quantum statistical mechanics. J. Math. Phys. 16(11), 2318–2325 (1975)
Eremenko, A.: Herbert Stahl’s proof of the BMV conjecture. arXiv:1312.6003
206(1), 97–102 (2015) (in Russian). English translation: Eremenko, A.: Herbert Stahl’s proof of the BMV conjecture. Sb. Math. 206(1), 87–92 (2015)
Hall, B.C.: Lie Groups, Lie Algebras and Representations. Springer, New York (2003)
Katsnelson, V.: The function \(\cosh \sqrt{at^2+b}\) is exponentially convex. arXiv:1502.04201
Mehta, M.L., Kumar, K.: On an integral representation of the function \(\text{ Tr }\,[{\rm e}^{A-\lambda B}]\). J. Phys. A Math. Gen. 9(2), 197–206 (1976)
Stahl H.: Proof of the BMV conjecture, pp. 1–56. arXiv:1107.4875v1. 25 July 2011 (2011)
Stahl H.: Proof of the BMV conjecture, pp. 1–25. arXiv:1107.4875v3. 17 August 2012 (2012)
Stahl, H.: Proof of the BMV conjecture. Acta Math. 211, 255–290 (2013)
Widder, D.V.: Laplace Transform. Princeton University Press, Princeton (1946)