Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về các đặc tính cong không thể nghe được của các đa tạp Riemann đóng
Tóm tắt
Theo Mark Kac, một thuộc tính hình học của một đa tạp Riemann đóng có thể được nghe thấy nếu nó có thể xác định từ phổ giá trị riêng của toán tử Laplace liên quan trên các hàm. Ngược lại, không gian D'Atri, các đa tạp loại $${\mathcal{A}}$$, không gian giao hoán xác suất, $${\mathfrak{C}}$$-space, không gian $${\mathfrak{TC}}$$ và không gian $${\mathfrak{GC}}$$ đã được nhiều tác giả nghiên cứu như những đa tạp Riemann giống đối xứng. Trong bài viết này, chúng tôi chứng minh rằng đối với các đa tạp Riemann đóng, không có thuộc tính nào vừa đề cập có thể được nghe thấy. Một lớp khác thú vị là lớp các đa tạp đối xứng yếu. Chúng tôi xem xét phiên bản địa phương của thuộc tính này và chỉ ra rằng đối xứng địa phương yếu là một thuộc tính không thể nghe thấy khác của các đa tạp Riemann.
Từ khóa
#đặc tính cong #đa tạp Riemann #không gian D'Atri #không gian giao hoán xác suất #đối xứng yếu #toán tử LaplaceTài liệu tham khảo
Arias-Marco, T.: Study of homogeneous D’Atri spaces of the Jacobi operator on g.o. spaces and the locally homogeneous connections on 2-dimensional manifolds with the help of Mathematica ©. Dissertation, Universitat de València, Valencia, Spain (2007) ISBN: 978-84-370-6838-1, http://www.tdx.cat/TDX-0911108-110640
Arias-Marco T.: The classification of 4-dimensional homogeneous D’Atri spaces revisited. Differ. Geom. Appl. 25, 29–34 (2007)
Arias-Marco T., Kowalski O.: The classification of 4-dimensional homogeneous D’Atri spaces. Czechoslovak Math. J. 58(133), 203–239 (2008)
Berndt J., Vanhecke L.: Two natural generalizations of locally symmetric spaces. Differ. Geom. Appl. 2, 57–80 (1992)
Berndt J., Vanhecke L.: Geometry of weakly symmetric spaces. J. Math. Soc. Japan 48, 745–760 (1996)
Berndt J., Prüfer F., Vanhecke L.: Symmetric-like Riemannian manifolds and geodesic symmetries. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 125(2), 265–282 (1995)
Berndt J., Tricerri F., Vanhecke L.: Generalized Heisenberg Groups and Damek-Ricci Harmonic Spaces, Lecture Notes in Mathematics 1598. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York (1995)
Cho J.T., Sekiwaga K., Vanhecke L.: Volume-preserving geodesicsymmetries on four-dimensional Hermitian Einstein spaces. Nagoya Math. J. 146, 13–29 (1997)
D’Atri J.E., Nickerson H.K.: Divergence preserving geodesicsymmetries. J. Diff. Geom. 3, 467–476 (1969)
Eberlein P.: Geometry of two-step nilpotent groups with a leftinvariant metric. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 27(4), 611–660 (1994)
Gordon C.S., Gornet R., Schueth D., Webb D., Wilson E.N.: Isospectral deformations of closed Riemannian manifolds with different scalar curvature. Ann. Inst. Fourier 48(2), 593–607 (1998)
Gray A.: Einstein-like manifolds which are not Einstein. Geometriae Dedicata 7, 259–280 (1978)
Kobayashi S., Nomizu K.: Foundations of Differential Geometry. Vol. 1, Interscience, New York/London (1963)
Kowalski O.: Some curvature identities for commutative spaces. Czechoslovak Math. J. 32, 389–396 (1982)
Kowalski, O.: Spaces with volume-preserving symmetries and related classes of Riemannian manifolds. Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, Fascicolo Speciale, pp. 131–158 (1983)
Kowalski O., Prüfer F.: On probabilistic commutative spaces. Monasth. Math. 107, 57–68 (1989)
Kowalski O., Prüfer F., Vanhecke L.: D’Atri spaces. Prog. Nonlinear Differ. Equ. Appl 20, 241–284 (1996)
Lauret J.: Commutative spaces which are not weakly symmetric. Bull London Math. Soc. 30, 29–36 (1998)
Pedersen H., Tod P.: The Ledger curvature conditions and D’Atri geometry. Differ. Geom. Appl. 11, 155–162 (1999)
Roberts P.H., Ursell H.D.: Random walk on a sphere and on a Riemannian manifold. Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A 252, 317–356 (1960)
Schueth D.: Isospectral manifolds with different local geometries. J. Reine Angew. Math. 534, 41–94 (2001)
Sekiwaga K., Vanhecke L.: Volume-preserving geodesic symmetries on four-dimensional 2-stein spaces. Kodai Math. J. 9, 215–224 (1986)
Sekiwaga K., Vanhecke L.: Volume-preserving geodesic symmetries on four-dimensional Kähler manifolds. Lect. Notes Math. 1209, 275–291 (1986)
Selberg A.: Harmonic analysis and discontinuous groups inweakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. J. Indian Math. Soc. 20, 47–87 (1956)
Szabó Z.I.: Spectral theory for operator families on Riemannian manifolds. Proc. Symp. Pure Math. 54(3), 615–665 (1993)
Szabó Z.I.: Locally non-isometric yet super isospectral spaces. Geom. Funct. Anal. 9(1), 185–214 (1999)
Vanhecke L., Willmore T.J.: Interaction of tubes and spheres. Math. Ann. 263, 31–42 (1983)