Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về bốn mã với nhóm tự đồng cấu $$P\Sigma L(3,4)$$ và các giả nhúng của các thiết kế lớn Witt
Tóm tắt
Một giả nhúng của một hình học điểm - đường là một cách biểu diễn hình học vào một không gian dự án trên trường $${\mathbb F}_2$$ sao cho mỗi đường tương ứng với một khung của một không gian con. Một cách biểu diễn được gọi là đồng nhất nếu mọi tự đồng cấu của hình học nâng lên thành một tự đồng cấu của không gian dự án. Trong bài báo này, chúng tôi xác định tất cả các giả nhúng đồng nhất của ba thiết kế Witt mà xuất hiện thông qua việc mở rộng mặt phẳng dự án $${\mathrm{PG}}(2,4)$$. Trong quá trình làm việc, chúng tôi đã gặp một số mã với nhóm tự đồng cấu $$P\Sigma L(3,4)$$ và các tập hợp điểm của $${\mathrm{PG}}(2,4)$$ có một mẫu giao điểm đặc biệt với các mặt phẳng Baer hoặc hyperoval.
Từ khóa
#giả nhúng #thiết kế Witt #đồng nhất #nhóm tự đồng cấu #không gian dự án #mặt phẳng Baer #hyperovalTài liệu tham khảo
Aschbacher M.: Sporadic Groups, vol. 104. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1994).
Assmus E.F. Jr., Key J.D.: Baer subplanes, ovals and unitals. pp. 1–8 in “Coding theory and design theory, Part I”, IMA Vol. Math. Appl. 20. Springer (1990).
Cooperstein B.N.: On the generation of some embeddable \(GF(2)\) geometries. J. Algebraic Comb. 13, 15–28 (2001).
Cooperstein B.N., Thas J.A., Van Maldeghem H.: Hermitian Veroneseans over finite fields. Forum Math. 16, 365–381 (2004).
Coxeter H.S.M.: Twelve points in \(PG(5,3)\) with 95040 self-transformations. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 247, 279–293 (1958).
De Bruyn B.: The pseudo-hyperplanes and homogeneous pseudo-embeddings of \({\rm AG}(n,4)\) and \({\rm PG}(n,4)\). Des. Codes Cryptogr. 65, 127–156 (2012).
De Bruyn B.: Pseudo-embeddings and pseudo-hyperplanes. Adv. Geom. 13, 71–95 (2013).
De Bruyn B.: The pseudo-hyperplanes and homogeneous pseudo-embeddings of the generalized quadrangles of order \((3, t)\). Des. Codes Cryptogr. 68, 259–284 (2013).
De Schepper A.: Characterisations and classifications in the theory of parapolar spaces. Ph.D. thesis, Ghent University, (2019).
De Schepper A., Krauss O., Schillewaert J., Van Maldeghem H.: Veronesean representations of projective spaces over quadratic associative division algebras. J. Algebra 521, 166–199 (2019).
Dixon J.D., Mortimer B.: Permutation Groups. Graduate Texts in Mathematics, vol. 163. Springer, New York (1996).
Ferrara Dentice E., Marino G.: Classification of Veronesean caps. Discret. Math. 308, 299–302 (2008).
Hirschfeld J.W.P.: Finite Projective Spaces of Three Dimensions. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford (1985).
Hirschfeld J.W.P., Thas J.A.: General Galois Geometries. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford (1991).
Hughes D.R., Piper F.C.: Design Theory. Cambridge University Press, Cambridge (1985).
Krauss O., Schillewaert J., Van Maldeghem H.: Veronesean representations of Moufang planes. Mich. Math. J. 64, 819–847 (2015).
Lüneburg H.: Transitive Erweiterungen endlicher Permutationsgruppen. Lecture Notes in Mathematics 84. Springer, New York (1969).
Mazzocca F., Melone N.: Caps and Veronese varieties in projective Galois spaces. Discret. Math. 48, 243–252 (1984).
Schillewaert J., Struyve K.: A characterization of \(d\)-uple Veronese varieties. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 353, 333–338 (2015).
Schillewaert J., Van Maldeghem H.: Quadric Veronesean caps. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 20, 19–25 (2013).
Scafati M.T.: \(\{ k, n \}\)-archi di un piano grafico finito, con particolare riguardo a quelli con due caratteria. Rend. Acc. Naz. Lincei 40, 812–817 (1966).
Scafati M.T.: Caratterizzazione grafica delle forme hermitiane di un \(S_{r,q}\). Rend. Mat. Roma 26, 273–303 (1967).
Thas J.A., Van Maldeghem H.: Classification of finite Veronesean caps. Eur. J. Comb. 25, 275–285 (2004).
Todd J.A.: On representations of the Mathieu groups as collineation groups. J. Lond. Math. Soc. 34, 406–416 (1959).