Về sự phân nhánh của các đối xứng đa chiều có tiếp xúc đồng lặp với một điểm cố định loại yên ngựa-nút

Regular and Chaotic Dynamics - Tập 19 - Trang 461-473 - 2014
Serey V. Gonchenko1, Olga V. Gordeeva1, Valery I. Lukyanov1, Ivan I. Ovsyannikov1,2
1Nizhny Novgorod State University, Nizhny Novgorod, Russia
2Imperial College, London, UK

Tóm tắt

Chúng tôi nghiên cứu các điểm phân nhánh chính của các phép đồng dạng (diffeomorphism) đa chiều có một quỹ đạo đồng lặp không giao nhau đến một điểm cố định loại yên ngựa-nút. Trên mặt phẳng tham số, chúng tôi xây dựng một sơ đồ phân nhánh cho các quỹ đạo chu kỳ đơn vòng hoàn toàn nằm trong một vùng nhỏ xung quanh quỹ đạo đồng lặp. Ngoài ra, một mối quan hệ giữa các kết quả của chúng tôi và các phân nhánh được biết đến của một điểm cố định loại yên ngựa với tiếp xúc đồng lặp bậc hai và một điểm cố định loại yên ngựa-nút có quỹ đạo đồng lặp giao nhau cũng được thảo luận.

Từ khóa

#phân nhánh; đồng dạng đa chiều; quỹ đạo đồng lặp; tiếp xúc đồng lặp; điểm cố định yên ngựa-nút

Tài liệu tham khảo

Shilnikov, L.P., On a Poincaré-Birkhoff Problem, Math. USSR-Sb., 1967, vol. 3, no. 3, pp. 353–371; see also: Mat. Sb. (N. S.), 1967, vol. 74(116), no. 3, pp. 378–397. Gonchenko, S. V., Turaev, D. V., and Shil’nikov, L.P., Models with a Structurally Unstable Homoclinic Poincaré Curve, Soviet Math. Dokl., 1992, vol. 44, no. 2, pp. 422–426; see also: Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1991, vol. 320, no. 2, pp. 269–272. Gonchenko, S. V., Shil’nikov, L.P., and Turaev, D. V., On Models with Nonrough Poincaré Homoclinic Curves. Homoclinic Chaos (Brussels, 1991), Phys. D, 1993, vol. 62, nos. 1–4, pp. 1–14. Gonchenko, S. V., Turaev, D. V., and Shil’nikov, L.P., Homoclinic Tangencies of Arbitrary Order in Newhouse Domains, in Dynamical Systems: Proc. of Int. Conf. Dedicated to L. S. Pontryagin 90th Anniversary (Moscow, 1998), Itogi Nauki Tekh. Ser. Sovrem. Mat. Prilozh. Temat. Obz., vol. 67, Moscow: VINITI, 1999, pp. 69–128 (Russian). Gonchenko, S., Turaev, D., and Shilnikov, L., Homoclinic Tangencies of Arbitrarily High Orders in Conservative and Dissipative Two-Dimensional Maps, Nonlinearity, 2007, vol. 20, no. 2, pp. 241–275. Gavrilov, N.K. and Shilnikov, L.P., On Three-Dimensional Dynamical Systems Close to Systems with a Structurally Unstable Homoclinic Curve: 1, Math. USSR-Sb., 1972, vol. 17, no. 4, pp. 467–485; see also: Mat. Sb. (N. S.), 1972, vol. 88(130), no. 4(8), pp. 475–492; Gavrilov, N.K. and Shilnikov, L.P., On Three-Dimensional Dynamical Systems Close to Systems with a Structurally Unstable Homoclinic Curve: 2, Math. USSR-Sb., 1973, vol. 19, no. 1, pp. 139–156; see also: Mat. Sb. (N. S.), 1973, vol. 90(132), no. 1, pp. 139–156. Lukyanov, V. I. and Shilnikov, L.P., On Some Bifurcations of Dynamical Systems with Homoclinic Structures, Soviet Math. Dokl., 1978, vol. 19, pp. 1314–1318; see also: Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1978, vol. 243, no. 1, pp. 26–29. Gonchenko, S. V., Stable Periodic Motions in Systems Close to a Structurally Unstable Homoclinic Curve, Math. Notes, 1983, vol. 33, no. 5, pp. 384–389; see also: Mat. Zametki, 1983, vol. 33, no. 5, pp. 745–756. Afraimovich, V. S. and Shilnikov, L.P., Invariant Tori, Their Breakdown and Stochasticity, Amer. Math. Soc. Transl., 1991, vol. 149, pp. 201–211. Newhouse, S., Palis, J., and Takens, F., Bifurcations and Stability of Families of Diffeomorphisms, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 1983, No. 57, pp. 5–71. Shilnikov, L.P. and Turaev, D.V., A New Simple Bifurcation of a Periodic Orbit of “Blue Sky Catastrophe” Type, in Methods of Qualitative Theory of Differential Equations and Related Topics, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, vol. 200, Providence, R.I.: AMS, 2000, pp. 165–188. Gordeeva, O.V. and Lukjanov, V. I., Bifurcations of Codimension-Two Dynamic Systems with Non-Coarse Homoclinic Structure of Saddle-Node, Vestnik Nizhegorodskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2007, no. 2, pp. 175–180 (Russian). Gordeeva, O.V. and Lukjanov, V. I., Certain Bifurcations of Limit Sets in a Neighbourhood of a Non-Rough Homoclinic Structure with a Non-Degenerated Periodic Motion, Nelin. Mir, 2007, vol. 5, nos. 1–2, pp. 95–100 (Russian). Luk’yanov, V. I., Bifurcations of Dynamical Systems with “Saddle-Node” Separatrix Loops, Differ. Equ., 1983, vol. 18, pp. 1049–1059; see also: Differ. Uravn., 1982, vol. 18, no. 9, pp. 1493–1506, 1653. Tedeschini-Lalli, L. and Yorke, J.A., How Often Do Simple Dynamical Processes Have Infinitely Many Coexisting Sinks?, Comm. Math. Phys., 1986, vol. 106, no. 4, pp. 635–657. Lukjanov, V. I., On Existence of Smooth Invariant Foliations in a Neighbourhood of Some Non-Rough Fixed Points of a Diffeomorphism, in Differential and Integral Equations: Vol. 3, N. F. Otrokov (Ed.), Gorky: Gorky Gos. Univ., 1979, pp. 60–66 (Russian). Hirsch, M.W., Pugh, C.C., and Shub, M., Invariant Manifolds, Lecture Notes in Math., vol. 583, New York: Springer, 1977. Shilnikov, L.P., Shilnikov, A. L., Turaev, D., and Chua, L.O., Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics: Part 1, World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A Monogr. Treatises, vol. 4, River Edge, N.J.: World Sci., 1998. Gonchenko, S. V. and Shilnikov, L.P., On Moduli of Systems with a Structurally Unstable Homoclinic Poincaré Curve, Russian Acad. Sci. Izv. Math., 1993, vol. 41, no. 3, pp. 417–445; see also: Izv. Ross. Akad. Nauk. Ser. Mat., 1992, vol. 56, no. 6, pp. 1165–1197.