Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Về chu kỳ tiệm cận gần như chắc chắn cho các phương trình sai phân ngẫu nhiên kiểu vô hướng
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét một phương trình sai phân ngẫu nhiên tuyến tính bị nhiễu
$$ X(n+1)=a(n)X(n)+g(n)+\sigma(n)\xi(n+1), \quad n=0, 1, \dots, \qquad X_{0}\in\mathbb{R}, $$
với các hệ số thực
$a(n)$,
$g(n)$,
$\sigma(n)$, và các biến ngẫu nhiên phân phối đồng nhất độc lập
$\xi(n)$
có trung bình bằng 0 và phương sai bằng 1. Chuỗi
$(a(n))_{n\in\mathbf{N}}$
là K-định kỳ, trong đó K là một số nguyên dương,
$\lim_{n\to\infty}g(n)=\hat{g}<\infty$
và
$\lim_{n\to\infty}\sigma(n) \xi(n+1)=0$
, gần như chắc chắn. Chúng tôi thiết lập các điều kiện cung cấp chu kỳ tiệm cận gần như chắc chắn cho nghiệm
$X(n)$
khi
$|L|=1$
và
$|L|<1$
, trong đó
$L:=\prod_{i=0}^{K-1}a(i)$
. Một kết quả sắc đáng về chu kỳ tiệm cận của
$X(n)$
cũng được chứng minh. Các kết quả được minh họa bằng các mô phỏng máy tính.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Elaydi, SN: An Introduction to Difference Equations, 2nd edn. Springer, Berlin (1999)
Dannan, F, Elaydi, S, Liu, P: Periodic solutions of difference equations. J. Differ. Equ. Appl. 6(2), 203-232 (2000)
Grove, EA, Ladas, G: Periodicities in Nonlinear Difference Equations. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton (2005)
Diblik, J, Ruzickova, M, Schmeidel, E, Zbaszyniak, M: Weighted asymptotically periodic solutions of linear Volterra difference equations. Abstr. Appl. Anal. (2011). doi:10.1155/2011/370982
Diblik, J, Ruzickova, M, Schmeidel, E: Existence of asymptotically periodic solutions of system of Volterra difference equations. J. Differ. Equ. Appl. 15(11-12), 1165-1177 (2009)
Agarval, RP, Romanenko, EY: Stable periodic solutions of difference equations. Appl. Math. Lett. 11(4), 81-84 (1998)
Appleby, JAD, Mao, X, Rodkina, A: On stochastic stabilization of difference equations. Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. A 15(3), 843-857 (2006)
Appleby, JAD, Kelly, C, Mao, X, Rodkina, A: On the local dynamics of polynomial difference equations with fading stochastic perturbations. Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst., Ser. A Math. Anal. 17(3), 401-430 (2010)
Appleby, JAD, Berkolaiko, G, Rodkina, A: Non-exponential stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equations with unbounded noise. Stoch. Int. J. Probab. Stoch. Process. 81(2), 99-127 (2009)
Appleby, JAD, Berkolaiko, G, Rodkina, A: On local stability for a nonlinear difference equation with a non-hyperbolic equilibrium and fading stochastic perturbations. J. Differ. Equ. Appl. 14(9), 923-951 (2008)
Berkolaiko, G, Rodkina, A: Almost sure convergence of solutions to non-homogeneous stochastic difference equation. J. Differ. Equ. Appl. 12(6), 535-553 (2006)
Feng, C, Zhao, H, Zhou, B: Pathwise random periodic solutions of stochastic differential equations. J. Differ. Equ. 251, 119-149 (2011)
Cao, J, Yang, Q, Huang, Z, Liu, Q: Asymptotically almost periodic solutions of stochastic functional differential equations. Appl. Math. Comput. 218, 1499-1511 (2011)
Yang, L, Li, Y: Periodic solutions for impulsive BAM neural networks with time-varying delays in leakage term. Int. J. Differ. Equ. (2013). doi:10.1155/2013/543947
Dokuchaev, N, Rodkina, A: On limit periodicity of discrete time stochastic processes. Stoch. Dyn. 14(4), 1450011 (2014). doi:10.1142/S0219493714500117
Chan, T, Williams, D: An excursions approach to an annealing problem. Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 105, 169-176 (1989)
Shiryaev, AN: Probability, 2nd edn. Springer, Berlin (1996)