Về một bất đẳng thức của Cocke và Venkataraman

Springer Science and Business Media LLC - Tập 197 Số 3 - Trang 505-515 - 2022
Benjamin Sambale1, Philipp Wellmann1
1Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik, Leibniz Universität Hannover, Welfengarten 1, 30167, Hannover, Germany

Tóm tắt

Tóm tắt

Cho G là một nhóm hữu hạn có chính xác k phần tử có bậc lớn nhất có thể là m. Gọi q(m) là tích của $$\gcd (m,4)$$ gcd ( m , 4 ) và các thừa số nguyên tố lẻ của m. Chúng tôi chứng minh rằng $$|G|\le q(m)k^2/\varphi (m)$$ | G | q ( m ) k 2 / φ ( m ) trong đó $$\varphi $$ φ biểu thị cho hàm phi Euler. Điều này củng cố một kết quả gần đây của Cocke và Venkataraman. Như một ứng dụng, chúng tôi phân loại tất cả các nhóm hữu hạn với $$k<36$$ k < 36 . Điều này được thúc đẩy bởi một giả thuyết của Thompson và thống nhất một số kết quả từng phần trong tài liệu.

Từ khóa


Tài liệu tham khảo

Benesh, B., Cocke, W.: On the number of elements in a group whose order is divisible by a common natural number. Math. Proc. R. Ir. Acad. 120A, 1–5 (2020)

Chen, G., Shi, W.: Finite groups with 30 elements of maximal order. Appl. Categ. Struct. 16, 239–247 (2008)

Cocke, W., Venkataraman, G.: On the number of elements of maximal order in a group. Am. Math. Mon. 126, 66–69 (2019)

Han, Z., Song, R.: Finite groups having exactly 22 elements of maximal order. Int. J. Algebra 8, 353–355 (2014)

Han, Z., Song, R.: Finite groups having exactly 28 elements of maximal order. Int. J. Algebra 8, 563–568 (2014)

Han, Z., Song, R.: Finite groups having exactly 44 elements of maximal order. Adv. Math. (China) 45, 61–66 (2016)

Han, Z., Xie, L., Guo, P.: Finite groups which have 20 elements of maximal order. Math. Probl. Eng. 2020, 5 (2020)

Han, Z., Zhang, L.: Finite groups having exactly 42 elements of maximal order. Ital. J. Pure Appl. Math. 351–354,(2017)

Jiang, Q., Shao, C.: Finite groups with 24 elements of maximal order. Front. Math. China 5, 665–678 (2010)

Jiang, Y.Y.: Finite groups with 44 or 52 maximal-order elements. J. Hebei Univ. Nat. Sci. 24, 113–116 (2004)

Laffey, T.J.: The number of solutions of $$x^{3}=1$$ in a $$3$$-group. Math. Z. 149, 43–45 (1976)

The GAP Group, GAP-Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.11.0 (2020). http://www.gap-system.org

Wall, C.T.C.: On groups consisting mostly of involutions. Proc. Camb. Philos. Soc. 67, 251–262 (1970)

Yang, C.: Finite groups with various numbers of elements of maximum order. Chin. Ann. Math. Ser. A 14, 561–567 (1993)