Về Một Số Cấu Trúc Lie Bialgebra Trên Các Đại Số Đa Thức Và Sự Lượng Tử Của Chúng

Springer Science and Business Media LLC - Tập 282 - Trang 625-662 - 2008
S. M. Khoroshkin1, I. I. Pop2, M. E. Samsonov3, A. A. Stolin2, V. N. Tolstoy4
1Institute for Theoretical and Experimental Physics, Moscow, Russia
2Department of Mathematics, Gothenburg University, Gothenburg, Sweden
3Dublin Institute for Advanced Studies, Dublin, Ireland
4Institute of Nuclear Physics, Moscow State University, Moscow, Russia

Tóm tắt

Chúng tôi nghiên cứu các cách uốn cổ điển của các cấu trúc Lie bialgebra trên đại số dòng đa thức $${\mathfrak{g}[u]}$$, trong đó $${\mathfrak{g}}$$ là một đại số Lie phức đơn giản và có chiều hữu hạn. Chúng tôi tập trung vào các cấu trúc được sinh ra bởi các nghiệm gần như lượng giác của phương trình Yang-Baxter cổ điển. Hóa ra rằng các ma trận r gần như lượng giác rơi vào các lớp được gán nhãn bởi các đỉnh của sơ đồ Dynkin mở rộng của $${\mathfrak{g}}$$. Chúng tôi đưa ra phân loại hoàn chỉnh các ma trận r gần như lượng giác thuộc về các gốc đơn giản không có bội (có hệ số là 1 trong phân rã của gốc tối đa). Chúng tôi lượng tử hóa các nghiệm tương ứng với gốc đầu tiên của $${\mathfrak{sl}(n)}$$.

Từ khóa

#Lie bialgebra #đại số dòng đa thức #nghiệm gần như lượng giác #phương trình Yang-Baxter #lượng tử hóa

Tài liệu tham khảo

Belavin A.A., Drinfeld V.G.: Triangle equation and simple Lie algebras. Soviet Sci. reviews, Section C 4, 93–165 (1984) Belavin A.A., Drinfeld V.G.: On classical Yang-Baxter equation for simple Lie algebras. Funct. Anal. Appl. 16, 1–29 (1982) Belavin A.A., Drinfeld V.G.: On classical Yang-Baxter equations for simple Lie algebras. Funct. Anal. Appl. 17(3), 69–70 (1983) Connes A., Moscovici H.: Rankin–Cohen Brackets and the Hopf Algebra of Transverse Geometry. Moscow Math. J. 4(1), 111–130 (2004) Cremmer E., Gervais J.L.: The quantum group structure associated to nonlineary extended Virasoro algebras. Commun. Math. Phys. 134(3), 619–632 (1990) Delorme P.: Classification des triples de Manin pour les algebres de Lie reductives complexes. J. Algebra 246, 97–174 (2001) Dergachev V., Kirillov A.A.: Index of Lie algebras of seaweed type. J. Lie Theory 10(2), 331–343 (2000) Drinfeld V.G.: Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of the classical Yang-Baxter equations. Soviet Math. Dokl. 27, 68–71 (1983) Drinfeld, V.G.: Quantum groups. In: Proceedings ICM (Berkeley 1986) 1, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1987, pp. 798–820 Drinfeld V.G.: Quasi-Hopf algebras. Leningrad Math. J. 1, 1419–1457 (1990) Drinfeld V.G.: On constant, quasiclassical solutions of the Yang-Baxter quantum equation. Soviet Math. Dokl. 28(3), 667–671 (1983) Drinfeld, V.G.: On some unsolved problems in quantum group theory. In: Quantum groups, Lecture Notes in Math., 1510, Berlin: Springer, 1992, pp. 1–8 Etingof P., Kazhdan D.: Quantization of Lie bialgebras I. Selecta Math. 2(1), 1–41 (1986) Etingof P., Schiffmann O.: Lectures on Quantum Groups. International Press, Somerville, MA (1998) Etingof P., Schedler T., Schiffmann O.: Explicit quantization of dynamical R-matrices for finite-dimensional semisimple Lie algebras. J. AMS 13, 595–609 (2000) Gerstenhaber M., Giaquinto A.: Boundary solutions of the classical Yang-Baxter equation. Lett. Math. Phys. 40(4), 337–353 (1997) Halbout G.: Formality theorem for Lie bialgebras and quantization of twists and coboundary r-matrices. Adv. Math. 207, 617–633 (2006) Hodges, T.J.: Nonstandard quantum groups associated to certain Belavin–Drinfeld triples. In: Perspectives on quantization (South Hadley, MA, 1996), Contemp. Math., 214, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, pp. 63–70 Isaev A.P., Ogievetsky O.V.: On quantization of r-matrices for Belavin-Drinfeld triples. Phys. Atomic Nuclei 64(12), 2126–2130 (2001) Karolinsky E., Stolin A.A.: Classical dynamical r-matrices, Poisson homogeneous spaces and Lagrangian subalgebras. Lett. Math. Phys. 60, 257–274 (2002) Khoroshkin, S.M., Pop, I.I., Stolin, A.A., Tolstoy, V.N.: On some Lie bialgebra structures on polynomial algebras and their quantization. Preprint no. 21, 2003/2004, Mittag-Leffler Institute, Sweden (2004) Khoroshkin S.M., Stolin A.A., Tolstoy V.N.: Deformation of the Yangian Y(sl 2). Commun. Alg. 26(3), 1041–1055 (1998) Khoroshkin S.M., Stolin A.A., Tolstoy V.N.: q-Power function over q-commuting variables and deformed XXX and XXZ chains. Phys. Atomic Nuclei 64(12), 2173–2178 (2001) Khoroshkin S.M., Tolstoy V.N.: Universal R-matrix for quantized superalgebras. Commun. Math. Phys. 141(3), 599–617 (1991) Khoroshkin, S.M., Tolstoy, V.N.: Twisting of quantum (super)algebras. Connection of Drinfeld’s and Cartan–Weyl realizations for quantum affine algebras. MPIM preprint, MPI/94-23, Bonn (1994); http://arxiv.org/list/hep-th/9404036, 1994 Kulish P.P., Mudrov A.I.: Universal R-matrix for esoteric quantum groups. Lett. Math. Phys. 47(2), 139–148 (1999) Montaner, F., Zelmanov, E.: Bialgebra structures on current Lie algebras. Preprint, University of Wisconsin, Madison, 1993 Panyushev D.I.: Inductive formulas for the index of seaweed Lie algebras. Mosc. Math. J. 1(2), 221–241 (2001) Pop, I.: Lie bialgebra structures and their quantization. Doctoral thesis, Department of Mathematical Sciences, Göteborg University, Sweden, 2005 Pop, I.: On quasi-trigonometric solutions of CYBE and generalized Belavin-Drinfeld data. Preprint, Department of Mathematical Sciences, Göteborg University, 2008 Samsonov M.: Semi-classical Twists for \({\mathfrak{sl}_{3}}\) and \({\mathfrak{sl}_{4}}\) Boundary r-matrices of Cremmer-Gervais type. Lett. Math. Phys. 72(3), 197–210 (2005) Samsonov M.: Quantization of semi-classical twists and noncommutative geometry. Lett. Math. Phys. 75(1), 63–77 (2006) Stolin A.A.: On rational solutions of Yang-Baxter equation for sl(n). Math. Scand. 69, 57–80 (1991) Stolin A.A.: On rational solutions of Yang-Baxter equation. Maximal orders in loop algebra. Commun. Math. Phys. 141, 533–548 (1991) Stolin, A.A.: A geometrical approach to rational solutions of the classical Yang-Baxter equation. Part I. Symposia Gaussiana, Conf.A, Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1995, pp. 347–357 Tolstoy, V.N.: Extremal projectors for quantized Kac–Moody superalgebras and some of their applications. Lecture Notes in Phys., 370, Berlin: Springer, 1990, pp. 118–125 Tolstoy V.N., Khoroshkin S.M.: Universal R-matrix for quantized nontwisted affine Lie algebras. Func. Anal. Appl. 26(1), 69–71 (1992) Tolstoy, V.N.: From quantum affine Kac–Moody algebra to Drinfeldians and Yangians. Kac-Moody Lie algebras and related topics. Contemporary Mathematics, CONM 343, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 349–370 Tolstoy V.N.: Super-Drinfeldian and super-Yangian for the superalgebra U q (sl(n|m)). Phys. Atomic Nuclei 64(12), 2179–2184 (2001)