Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sửa đổi không gian null và giảm bậc mô hình thích ứng trong bài toán Maxwell đa tần số
Tóm tắt
Một phương pháp giảm bậc mô hình đã được phát triển cho một toán tử có không gian null không rỗng và áp dụng cho giải pháp số của bài toán dòng điện xoáy đa tần số theo chiều hướng sử dụng nội suy hữu tỉ của hàm truyền trong mặt phẳng phức. Phương trình được phân rã thành phần trong không gian null của toán tử, tính chính xác, và phần vuông góc với nó được xấp xỉ trên một không gian con Krylov hữu tỉ có bậc thấp. Đối với các phương trình Maxwell, không gian null liên quan đến không gian null của toán tử cuộn. Việc sửa đổi không gian null được đề xuất liên quan đến việc sửa đổi độ phân kỳ và sử dụng phân rã Helmholtz. Trong trường hợp phân discret hóa phần tử hữu hạn với các phần tử cạnh, việc này được thực hiện bằng cách giải phương trình Poisson trên các phần tử nút thuộc cùng một lưới. Để xây dựng xấp xỉ bậc thấp, chúng tôi lựa chọn định kỳ các tần số nội suy, xác định không gian con Krylov hữu tỉ, nhằm giảm tối đa sai số xấp xỉ. Chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp lựa chọn thích ứng các độ dịch chuyển, ma trận bao trùm không gian xấp xỉ không bao giờ trở nên thiếu bậc. Hiệu quả của phương pháp phát triển được chứng minh bằng việc áp dụng nó cho bài toán từ trường, là một phương pháp cảm biến từ xa điện từ địa vật lý được sử dụng trong thăm dò khoáng sản, địa nhiệt và nước ngầm. Các bài kiểm tra số cho thấy hiệu suất xuất sắc của các phương pháp đề xuất, được đặc trưng bởi việc giảm đáng kể thời gian tính toán mà không làm giảm độ chính xác. Việc sửa đổi không gian null điều chỉnh vấn đề nội suy bị khuyết tật.
Từ khóa
#giảm bậc mô hình #không gian null #phương trình Maxwell #nội suy hữu tỉ #phân rã HelmholtzTài liệu tham khảo
Antoulas, A.C., Sorensen, D.C., Gugercin, S.: A survey of model reduction methods for large-scale systems. Contemp. Math. 280, 193–220 (2001)
Bai, Z.: Krylov subspace techniques for reduced-order modeling of large-scale dynamical systems. Appl. Numer. Math. 43, 9–44 (2002)
Benner, P., Mehrmann, V., Sorensen, D.C.: Dimension Reduction of Large-Scale Systems. Springer (2005)
Bodendiek, A., Bollhöfer, M.: Adaptive-order rational Arnoldi-type methods in computational electromagnetism. BIT Numer. Math. 1–24 (2013)
Boerner, R.U.: Numerical modelling in geo-electromagnetics: advances and challenges. Surv. Geophys. 31, 225–245 (2010)
Druskin, V., Lieberman, C., Zaslavsky, M.: On adaptive choice of shifts in rational Krylov subspace reduction of evolutionary problems. SIAM J. Sci. Comput. 32(5), 2485–2496 (2010)
Druskin, V., Simoncini, V.: Adaptive rational Krylov subspaces for large-scale dynamical systems. Syst. Control Lett. 60(8), 546–560 (2011)
Druskin, V., Simoncini, V., Zaslavsky, M.: Solution of the time-domain inverse resistivity prolem in the model reduction framework part I: one-dimensional problem with SISO data. SIAM J. Sci. Comput. 35(3), A1621–A1640 (2013)
Elman, H.C., Meerbergen, K., Spence, A., Wu, M.: Lyapunov inverse iteration for identifying Hopf bifurcations in models of incompressible flow. SIAM J. Sci. Comput. 34(3), A1584–A1606 (2012)
Everett, M.E.: Theoretical developments in electromagnetic induction geophysics with selected applications in the near-surface. Surv. Geophys. 33, 29–63 (2012)
Farquharson, C.G., Meinsopust, M.: Three-dimensional finite-element modeling of magnetotelluric data with a divergence correction. J. Appl. Geophys. 75, 699–710 (2011)
Freund, R.W.: Model reduction methods based on Krylov subspaces. Acta Numer. 12, 267–319 (2003)
Gallivan, K., Grimme, G., Van Dooren, P.: A rational Lanczos algorithm for model reduction. Numer. Algoritm. 12(1), 33–63 (1996)
Grimme, E.J.: Krylov Projection Methods for Model Reduction. Ph.D. thesis, University of Illinois, Urbana-Champaigne (1997)
Gugercin, S., Antoulas, A.C., Beattie, C.: H_2 model reduction for large-scale linear dynamical systems. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30(2), 609–638 (2008)
Gunzburger, M.D., Bochev, P.B.: Least-Squares Finite Element Methods. Springer, New York (2009)
Güttel, S.: Rational Krylov approximation of matrix functions: Numerical methods and optimal pole selection. GAMM-Mitteilungen 36(1), 8–31 (2013)
Güttel, S., Knizhnerman, L.: A black-box rational Arnoldi variant for Cauchy–Stieltjes matrix functions. BIT Numer. Math. 53(3), 595–616 (2013)
Hiptmair, R.: Multigrid method for Maxwell’s equations. SIAM J. Numer. Anal. 36(1), 204–225 (1998)
Knizhnerman, L., Druskin, V., Zaslavsky, M.: On optimal convergence rate of the rational Krylov subspace reduction for electromagnetic problems in unbounded domains. SIAM J. Numer. Anal. 47(2), 953–971 (2009)
Kolev, T.V., Vassilevski, P.S.: Some experience with a H1-based auxiliary space AMG for H(curl) problems. Lawrence Livermore Nat. Lab., Livermore, CA, Rep. UCRL-TR-221841 (2006)
Kordy, M., Cherkaev, E., Wannamaker, P.: Variational formulation for Maxwell’s equations with Lorenz gauge: Existence and uniqueness of solution. Int. J. Numer. Anal. Model. 12(4), 731–749 (2015)
Kordy, M., Cherkaev, E., Wannamaker, P.: Adaptive model order reduction for the Jacobian calculation in inverse multi-frequency problem for Maxwell’s equations. Applied Numerical Mathematics 109, 1–18 (2016)
Kordy, M., Wannamaker, P., Maris, V., Cherkaev, E., Hill, G.: Three-dimensional magnetotelluric inversion including topography using deformed hexahedral edge finite elements and direct solvers parallelized on SMP computers, Part I: Forward problem and parameter Jacobians. Geophys. J. Int. 204(1), 74–93 (2016)
Kordy, M., Wannamaker, P., Maris, V., Cherkaev, E., Hill, G.: Three-dimensional magnetotelluric inversion including topography using deformed hexahedral edge finite elements and direct solvers parallelized on SMP computers, Part II: Direct data-space inverse solution. Geophys. J. Int. 204(1), 94–110 (2016)
Levin, E., Saff, E.B.: Potential theoretic tools in polynomial and rational approximation. In: Harmonic Analysis and Rational Approximation, pp 71–94. Springer (2006)
Moret, I.: Rational Lanczos approximations to the matrix square root and related functions. Numer. Linear Algebra Appl. 16(6), 431–445 (2009)
Mulder, W.A.: A multigrid solver for 3D electromagnetic diffusion. Geophys. Prospect. 54(5), 633–649 (2006)
Nédélec, J.C.: A new family of mixed finite elements in R 3. Numer. Math. 50(1), 57–81 (1986)
Newman, G.A., Alumbaugh, D.L.: Three-dimensional magnetotelluric inversion using non-linear conjugate gradients. Geophys. J. Int. 140, 410–424 (2000)
Popolizio, M., Simoncini, V.: Acceleration techniques for approximating the matrix exponential operator. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 30(2), 657–683 (2008)
Ragni, S.: Rational Krylov methods in exponential integrators for European option pricing. Numer. Linear Algebra Appl. 21, 494–512 (2014)
Ralph-Uwe, B., Ernst, O.G., Spitzer, K.: Fast 3-D simulation of transient electromagnetic fields by model reduction in the frequency domain using Krylov subspace projection. Geophys. J. Int. 173(3), 766–780 (2008)
Ransford, T.: Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge University Press (1995)
Saff, E.B., Totik, V.: Logarithmic Potentials with External Fields. Springer (1997)
Sasaki, Y.: Full 3-D inversion of electromagnetic data on PC. J. Appl. Geophys. 46, 45–54 (2001)
Siripunvaraporn, W., Egbert, G., Lenbury, Y.: Numerical accuracy of magnetotelluric modeling: a comparison of finite difference approximations. Earth Planets Space 54, 721–725 (2002)
Siripunvaraporn, W., Egbert, G., Lenbury, Y., Uyeshima, M.: Three-dimensional magnetotelluric inversion: data-space method. Phys. Earth Planet Inter. 150, 3–14 (2005)
Smith, J.: Conservative modeling of 3-D electromagnetic fields, Part II: Biconjugate gradient solution and an accelerator. Geophysics 61(5), 1319–1324 (1996)
Villena, J.F., Silveira, L.M.: ARMS - automatic residue-minimization based sampling for multi-point modeling techniques. In: DAC’09 Proceedings of the 46th Annual Design Automation Conference, pp 951–956 (2009)
Zaslavsky, M., Druskin, V., Abubakar, A., Habashy, T., Simoncini, V.: Large-scale Gauss-Newton inversion of transient CSEM data using the model order reduction framework. Geophysics 78(4), E161–E171 (2013)