Lý thuyết phi tuyến của các sóng liên kết được minh họa qua sự bất ổn định của chùm điện tử và plasma

Giai đoạn phi tuyến của sự bất ổn định của một chùm electron hình nhẫn tách rời về mặt không gian khỏi plasma hình nhẫn được nghiên cứu. Các phương trình mô tả các sóng liên kết cho tỉ lệ tùy ý giữa mật độ chùm và mật độ plasma được rút ra. Kết quả cho thấy sự bất ổn định đạt đến điểm bão hòa ở khoảng cách tương đương với vài tỉ lệ gia tăng không gian nghịch đảo. Sự bão hòa này được gây ra bởi phi tuyến tính tương đối, sự sinh ra của bậc hài thứ hai và sự điều biến tần số thấp của trường điện từ. Ở những khoảng cách lớn hơn, sự sinh ra cộng hưởng của các dao động chùm tần số thấp trở thành yếu tố chi phối. Trong trường hợp chùm có mật độ thấp, một biểu thức cho công suất tối đa của sóng plasma được sinh ra được thu được dưới dạng tường minh.