Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các hàm phi tuyến và tập hiệu trên các hành động của nhóm
Tóm tắt
Có nhiều khái niệm tổng quát hóa các hàm Boolean cong cổ điển. Cho G, H là các nhóm hữu hạn và X là một tập G-hữu hạn. Các hàm phi tuyến hoàn hảo từ X đến H đã được nghiên cứu trong nhiều bài báo. Chúng là các tổng quát của các hàm phi tuyến hoàn hảo từ chính G đến H. Bằng cách giới thiệu khái niệm về một gia đình hiệu có liên quan (G, H) của X, chúng tôi đã thu được một đặc trưng cho các hàm phi tuyến hoàn hảo G trên X theo một gia đình hiệu có liên quan (G, H). Khi G là nhóm Abel, chúng tôi chứng minh rằng tồn tại một tập tương đương G chuẩn hóa $$\widehat{X}$$ của X, và đặc trưng một tập hiệu G của X bằng biến đổi Fourier trên một tập tương đương G chuẩn hóa $${{\widehat{X}}}$$. Chúng tôi cũng sẽ điều tra sự tồn tại và các cấu trúc của các hàm phi tuyến hoàn hảo G và các hàm cong G. Một số kết quả đã biết (IEEE Trans Inf Theory 47(7):2934–2943, 2001; Des Codes Cryptogr 46:83–96, 2008; GESTS Int Trans Comput Sci Eng 12:1–14, 2005; Linear Algebra Appl 452:89–105, 2014) là những hệ quả trực tiếp của các kết quả của chúng tôi.
Từ khóa
#hàm phi tuyến #nhóm hữu hạn #gia đình hiệu #biến đổi Fourier #hàm congTài liệu tham khảo
Alperin J.L., Bell R.B.: Groups and Representations, GTM 162. Springer, New York (1997).
Arasu K.T., Ding C., Helleseth T., Kumar P.V., Martinsen H.: Almost difference sets and their sequences with optimal autocorrelations. IEEE Trans. Inf. Theory 47(7), 2934–2943 (2001).
Beth T., Jungnickel D., Lenz H.: Design Theory, 2nd edn. Cambridge University Press, Cambridge (1999).
Carlet C., Ding C.: Highly nonlinear mappings. J. Complex. 20, 205–244 (2004).
Chung H., Kumar P.V.: A new general construction of generalized bent functions. IEEE Trans. Inf. Theory 35, 206–209 (1989).
Davis J.A., Poinsot L.: \(G\)-perfect nonlinear functions. Des. Codes Cryptogr. 46, 83–96 (2008).
Dillon J.F.: Elementary Hadamard difference sets. Ph.D. thesis, University of Maryland, College Park (1974).
Fan Y., Xu B.: Fourier transforms and bent functions on faithful actions of finite abelian groups. Des. Codes Cryptogr. (2016). doi:10.1007/s10623-016-0177-8.
Huppert B.: Character Theory of Finite Groups. Walter de Gruyter, Berlin (1998).
Kumar P.V., Scholtz R.A., Welch L.R.: Generalized bent functions and their properties. J. Comb. Theory Ser. A 40, 90–107 (1985).
Lai X., Massey J.L.: A proposal for a new block encryption standard. In: Advances in Cryptology-Eurocrypt’90. Lecture Notes in Computer Science, vol. 473, pp. 389–404. Springer, New York (1991).
Logachev O.A., Salnikov A.A., Yashchenko V.V.: Bent functions over a finite abelian group. Discret. Math. Appl. 7, 547–564 (1997).
Poinsot L.: Bent functions on a finite nonabelian group. J. Discret. Math. Sci. Cryptogr. 9, 349–364 (2006).
Poinsot L.: A new characterization of group action-based perfect nonlinearity. Discret. Appl. Math. 157, 1848–1857 (2009).
Poinsot L.: Non Abelian bent functions. Cryptogr. Commun. 4, 1–23 (2012).
Poinsot L., Harari S.: Group actions based perfect nonlinearity. GESTS Int. Trans. Comput. Sci. Eng. 12, 1–14 (2005).
Poinsot L., Pott A.: Non-boolean almost perfect nonlinear functions on non-abelian groups. Int. J. Found. Comput. Sci. 22, 1351–1367 (2011).
Pott A.: Nonlinear functions in abelian groups and relative diference sets. Optimal discrete structures and algorithms, ODSA 2000. Discret. Appl. Math. 138, 177–193 (2004).
Rothaus O.S.: On bent functions. J. Comb. Theory Ser. A 20, 300–305 (1976).
Serre J.-P.: Representations of Finite Groups, GTM. Springer, New York (1984).
Shorin V.V., Jelezniakov V.V., Gabidulin E.M.: Linear and differential cryptanalysis of Russian GOST. In: Augot D., Carlet C. (eds.) Workshop on Coding and Cryptography, pp. 467–476 (2001).
Solodovnikov V.I.: Bent functions from a finite abelian group to a finite abelian group. Diskret. Mat. 14, 99–113 (2002).
Tokareva N.: Generalizations of bent functions: a survey of publications. J. Appl. Ind. Math. 5, 110–129 (2011).
Xu B.: Multidimensional Fourier transforms and nonlinear functions on finite groups. Linear Algebra Appl. 452, 89–105 (2014).
Xu B.: Bentness and nonlinearity of functions on finite groups. Des. Codes Cryptogr. 76, 409–430 (2015).
Xu B.: Dual bent functions on finite groups and \(C\)-algebras. J. Pure Appl. Algebra 220, 1055–1073 (2016).