Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Lặp Newton cho phương trình vi phân riêng và sự xấp xỉ của định danh
Tóm tắt
Mọi người đều biết rằng điều kiện quan trọng để đảm bảo sự hội tụ bậc hai của các phương pháp Newton xấp xỉ là một xấp xỉ của điều kiện định danh. Điều này đòi hỏi sự kết hợp của phép đảo ngược số học của đạo hàm Fréchet với chính đạo hàm đó phải xấp xỉ định danh với độ chính xác được hiệu chỉnh theo phần dư. Ví dụ, định lý hội tụ bậc hai nổi tiếng của Kantorovich có thể được chứng minh khi điều này xảy ra, với các điều kiện về tính đều và tính ổn định của ánh xạ đạo hàm. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu những gì xảy ra khi điều kiện này không rõ ràng “a priori” nhưng được quan sát “a posteriori”. Thông qua một ví dụ sâu sắc liên quan đến bài toán giá trị biên elip nửa tuyến, và một số lý thuyết tổng quát, chúng tôi nghiên cứu điều kiện này trong bối cảnh các chuẩn đối ngẫu, cùng với ảnh hưởng của nó đến sự hội tụ. Chúng tôi cũng thảo luận về mối liên hệ với phép lặp Nash.
Từ khóa
#hội tụ bậc hai #phương pháp Newton #đạo hàm Fréchet #chuẩn đối ngẫu #bài toán giá trị biênTài liệu tham khảo
I. Babuška and A.K. Aziz, Survey lectures on the mathematical foundations of the finite element method, in: The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations (Academic Press, New York, 1972) pp. 5–359.
W.L. Briggs, A Multigrid Tutorial (SIAM, Philadelphia, 1987).
P.G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems (North-Holland, Amsterdam, 1978).
T.A. Davis and E.G. Gartland, Jr., Finite element analysis of the Landau-de Gennes minimization problem for liquid crystals, SIAM J. Numer. Anal. 35 (1998) 336–362.
Q. Du, M.D. Gunzburger and J.S. Peterson, Analysis and approximation of the Ginzburg-Landau model of superconductivity, SIAM Rev. 34 (1992) 54–81.
G.E. Fasshauer, Solving partial differential equations by collocation with radial basis functions, in: Surface Fitting and Multiresolution Methods, eds. A. Le Méhauté, C. Rabut and L.L. Schumaker (Vanderbilt Univ. Press, 1997) pp. 131–138.
G.E. Fasshauer, E.G. Gartland, Jr. and J.W. Jerome, Nash iteration as a computational tool for differential equations, J. Comput. Appl. Math. 119 (2000) 161–183.
G.E. Fasshauer and J.W. Jerome, Multistep approximation algorithms: Improved convergence rates through postconditioning with smoothing kernels, Adv. Comput. Math. 10 (1999) 1–27.
W. Hackbusch, Multi-Grid Methods and Applications (Springer, Berlin, 1985).
J.W. Jerome, Approximate Newton methods and homotopy for stationary operator equations, Constr. Approx. 1 (1985) 271–285.
J.W. Jerome, An adaptive Newton algorithm based on numerical inversion: Regularization as post-conditioner, Numer. Math. 47 (1985) 123–138.
J.W. Jerome, An asymptotically linear fixed point extension of the inf-sup theory of Galerkin approximation, Numer. Funct. Anal. Optim. 16 (1995) 345–361.
T. Kerkhoven and Y. Saad, On acceleration methods for coupled nonlinear elliptic systems, Numer. Math. 60 (1992) 525–548.
M.A. Krasnosel'skii, G.M. Vainikko, P.P. Zabreiko, Ya.B. Rititskii and V.Ya. Stetsenko, Approximate Solution of Operator Equations (Wolters-Noordhoff, Groningen, 1972).
J.M. Ortega and W.C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables (Academic Press, New York, 1970).
W.C. Rheinboldt, Methods for Solving Systems of Nonlinear Equations, 2nd ed., CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, Vol. 70 (SIAM, Philadelphia, 1998).