Phân tích dị thường đa quy mô và thuật toán cho bài toán trị riêng bậc hai trong vật liệu composite

Springer Science and Business Media LLC - Tập 42 - Trang 1-35 - 2023
Qiang Ma1, Yuting Wu1, Lin Bi2, Junzhi Cui3, Hongyu Wang1, Tingyan Chen1
1School of Mathematics, Sichuan University, Chengdu, China
2China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang, China
3LSEC, ICMSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, CAS, Beijing, China

Tóm tắt

Một phương pháp phân tích dị thường đa quy mô bậc hai (SOTS) và kỹ thuật tính toán mới được phát triển để giải quyết bài toán trị riêng bậc hai (QEP) trong miền composite định kỳ. Hai loại QEP điển hình liên quan đến hiện tượng giảm chấn vận tốc và giảm chấn Rayleigh được xem xét, và các khai triển dị thường cho cả hàm riêng và trị riêng được thực hiện. Các hàm ô đầu tiên đặc trưng cho cấu hình chi tiết của ô hiện tại được định nghĩa chính thức và các bài toán QEP đã đồng nhất được thu được với các hệ số hiệu quả vi mô. Các hàm ô bậc hai được phát triển thêm, được sử dụng để mô tả sự dao động nhanh của các hàm riêng một cách chính xác hơn. Mối quan hệ phi tuyến giữa các trị riêng gốc và trị riêng đã đồng nhất được thiết lập bằng cách giới thiệu các hàm bổ sung được định nghĩa trên miền composite và các khai triển bậc hai của các trị riêng được thu được lần lượt. Sau đó, các ước lượng sai số của các khai triển của các trị riêng được thiết lập. Cuối cùng, quy trình phần tử hữu hạn được đề xuất, các QEP đã đồng nhất được giải quyết bằng phương pháp tuyến tính hóa và các ví dụ số chứng minh độ chính xác và hiệu quả của mô hình và thuật toán mà chúng tôi đề xuất được báo cáo. Kết quả cho thấy phương pháp SOTS có thể được áp dụng hiệu quả cho bài toán trị riêng phi tuyến này và các bộ điều chỉnh bậc hai đóng một vai trò quan trọng trong việc mô tả hành vi cục bộ của các hàm riêng và đạt được sự xấp xỉ tốt hơn cho các trị riêng với chi phí thấp hơn.

Từ khóa

#bài toán trị riêng bậc hai #phân tích dị thường #vật liệu composite #phương pháp phần tử hữu hạn #dao động nhanh

Tài liệu tham khảo

Abdulle A, Weinan E, Engquist B, Vanden-Eijnden E (2012) The heterogeneous multiscale method. Acta Numer 21:1–87 Allaire G (1992) Homogenization and two-scale convergence. SIAM J Math Anal 23(6):1482–1518 Babuška I (1976) Solution of interface problems by homogenization. I. SIAM J Math Anal 7(5):603–634 Bakhvalov N, Panasenko G (1989) Homogenization: averaging processes in periodic media. Springer, Berlin Bermúdez A, Durán RG, Rodríguez R, Solomin J (2000) Finite element analysis of a quadratic eigenvalue problem arising in dissipative acoustics. SIAM J Numer Anal 38(1):267–291 Bris CL, Legoll F, Madiot F (2019) Multiscale finite element methods for advection-dominated problems in perforated domains. Multiscale Model Simul 17(2):773–825 Cao LQ, Cui JZ (2004) Asymptotic expansions and numerical algorithms of eigenvalues and eigenfunctions of the dirichlet problem for second order elliptic equations in perforated domains. Numer Math 96(3):525–581 Cao LQ, Zhang L, Allegretto W et al (2013a) Multiscale asymptotic method for steklov eigenvalue equations in composite media. SIAM J Numer Anal 51(1):273–296 Cao LQ, Zhang L, Allegretto W et al (2013b) Multiscale computation of a steklov eigenvalue problem with rapidly oscillating coefficients. Int J Numer Anal Model 10(1):42–73 Chamoin L, Legoll F (2021) Goal-oriented error estimation and adaptivity in msfem computations. Comput Mech 67(4):1201–1228 Cioranescu D, Donato P (1999) An introduction to homogenization. Oxford University Press, New York Cui JZ, Cao LQ (1998) Finite element method based on two-scale asymptotic analysis. Chin J Numer Math Appl 20:60–74 Cui JZ, Shih TM, Wang YL (1999) The two-scale analysis method for bodies with small periodic configurations. Struct Eng Mech 7(6):601–614 Davila CE (1998) A subspace approach to estimation of autoregressive parameters from noisy measurements. IEEE Trans Signal Process 46(2):531–534 Day DM, Walsh TF (2007) Quadratic eigenvalue problems, Sandia Report SAND2007-2072, Sandia National Laboratories, Albuquerque, New Mexico 87185 and Livermore, California, 94550 De Giorgi E (1977) \(\Gamma \)-convergenza e G-convergenza. Bollet dell’Unione Mate Ital 14:213–220 Eisenfeld J (1968) Quadratic eigenvalue problems. J Math Anal Appl 23(1):58–70 Hall P, Malik MR, Poll DIA (1984) On the stability of an infinite swept attachment line boundary layer. Proc R Soc Lond A Math Phys Sci 395(1809):229–245 Higham NJ, Mackey DS, Tisseur F et al (2008) Scaling, sensitivity and stability in the numerical solution of quadratic eigenvalue problems. Int J Numer Meth Eng 73(3):344–360 Hou TY, Wu XH (1997) A multiscale finite element method for elliptic problems in composite materials and porous media. J Comput Phys 134(1):169–189 Kalamkarov AL (1992) Composite and reinforced elements of constructions. Wiley, New York Kesavan S (1979a) Homogenization of elliptic eigenvalue problems: part I. Appl Math Optim 5(1):153–167 Kesavan S (1979b) Homogenization of elliptic eigenvalue problems: part II. Appl Math Optim 5(1):197–216 Li ZH, Ma Q, Cui JZ (2017) Multi-scale modal analysis for axisymmetric and spherical symmetric structures with periodic configurations. Comput Methods Appl Mech Eng 317:1068–1101 Ma Q, Li ZH, Cui JZ (2018) Multi-scale asymptotic analysis and computation of the elliptic eigenvalue problems in curvilinear coordinates. Comput Methods Appl Mech Eng 340:340–365 Ma Q, Ye SY, Cui JZ et al (2021) Two-scale and three-scale asymptotic computations of the Neumann-type eigenvalue problems for hierarchically perforated materials. Appl Math Model 92:565–593 Marchenko VA, Khruslov EY (1964) Boundary-value problems with fine-grained boundary. Matematich Sbornik 107(3):458–472 Nguetseng G (1989) A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization. SIAM J Math Anal 20(3):608–623 Papanicolau G, Bensoussan A, Lions JL (1978) Asymptotic analysis for periodic structures. North Holland, Amsterdam Pierce AD (2019) Acoustics: an introduction to its physical principles and applications. Springer, Berlin Santosa F, Vogelius M (1993) First-order corrections to the homogenized eigenvalues of a periodic composite medium. SIAM J Appl Math 53(6):1636–1668 Schlichting H, Gersten K (2003) Boundary-layer theory. Springer, Berlin Theofilis V (1995) Spatial stability of incompressible attachment-line flow. Theoret Comput Fluid Dyn 7(3):159–171 Tisseur F, Meerbergen K (2001) The quadratic eigenvalue problem. SIAM Rev 43(2):235–286 Tsalis D, Baxevanis T, Chatzigeorgiou G et al (2013) Homogenization of elastoplastic composites with generalized periodicity in the microstructure. Int J Plast 51:161–187 Vanninathan M (1981) Homogenization of eigenvalue problems in perforated domains. Proc Indian Acad Sci-Math Sci 90(1):239–271 Wn E, Engquist B, Li XT, Ren WQ, Vanden-Eijnden E (2007) Heterogeneous multiscale methods: a review. Commun Comput Phys 2(3):367–450 Yang ZH, Cui JZ, Wu YT et al (2015) Second-order two-scale analysis method for dynamic thermomechanical problems in periodic structure. Int J Numer Anal Model 12(1):144–161 Ye SY, Ma Q, Hu B et al (2021) Multiscale asymptotic analysis and computations for steklov eigenvalue problem in periodically perforated domain. Math Methods Appl Sci 44(17):12592–12612 Zhang L, Cao LQ, Wang X (2009) Multiscale finite element algorithm of the eigenvalue problems for the elastic equations in composite materials. Comput Methods Appl Mech Eng 198(33–36):2539–2554 Zhang Y, Cao LQ, Wong YS (2010) Multiscale computations for 3d time-dependent maxwell’s equations in composite materials. SIAM J Sci Comput 32(5):2560–2583