Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự đa dạng của các nghiệm cho một lớp phương trình Choquard tới hạn trên với giếng tiềm năng dốc
Tóm tắt
Trong bài báo này, chúng tôi xem xét phương trình Choquard tới hạn trên sau đây $$\begin{aligned} -\Delta u+\lambda V(x)u=\mu |u|^{p-2}u+\left( \int _{{\mathbb {R}}^3} \frac{|u(y)|^{6-\nu }}{|x-y|^\nu }{\textrm{d}}y\right) |u|^{4-\nu }u, \quad x\in {\mathbb {R}}^3, \end{aligned}$$ trong đó $$\lambda , \mu >0$$ là hai tham số, $$\nu \in (0,3),$$ $$p\in (4,6)$$ và $$V(x)\ge 0$$ có một giếng tiềm năng. Đối với $$\lambda $$ đủ lớn, sự tồn tại của các nghiệm trạng thái đáy được chứng minh, và hành vi tiệm cận của chúng được khảo sát khi $$\lambda \rightarrow \infty .$$ Hơn nữa, tồn tại các giá trị $$\lambda ^*$$ và $$\mu ^*$$ sao cho, với $$\lambda >\lambda ^*$$ và $$\mu <\mu ^*,$$ phương trình có nhiều nghiệm, mà tụ lại gần giếng tiềm năng.
Từ khóa
#phương trình Choquard #nghiệm trạng thái đáy #giếng tiềm năng #toán học ứng dụngTài liệu tham khảo
Alves, C.O., Barros, L.M.: Existence and multiplicity of solutions for a class of elliptic problem with critical growth. Monatsh. Math. 187, 195–215 (2018)
Alves, C.O., Ding, Y.: Multiplicity of positive solutions to a p-Laplacian equation involving critical nonlinearity. J. Math. Anal. Appl. 279, 508–521 (2003)
Alves, C.O., Gao, F., Squassina, M., Yang, M.: Singularly perturbed critical Choquard equations. J. Differ. Equ. 263, 3943–3988 (2017)
Alves, C.O., Nóbrega, A.B., Yang, M.: Multi-bump solutions for Choquard equation with deepening potential well. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 55 (2016). Art. 48
Benci, V., Cerami, G.: The effect of the domain topology on the number of positive solutions of nonlinear elliptic problems. Arch. Ration. Mech. Anal. 114, 79–93 (1991)
Bartsch, T., Wang, Z.Q.: Multiple positive solutions for a nonlinear Schrödinger equation. Z. Angew. Math. Phys. 51, 366–384 (2000)
Chang, K.C.: Infinite Dimensional Morse Theory and Multiple Solution Problems. Birkhäuser, Boston (1993)
Clapp, M., Ding, Y.: Positive solutions of a Schrödinger equation with critical nonlinearity. Z. Angew. Math. Phys. 55, 592–605 (2004)
Guo, L., Hu, T., Peng, S., Shuai, W.: Existence and uniqueness of solutions for Choquard equation involving Hardy–Littlewood–Sobolev critical exponent. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 58 (2019). Paper No. 128
Guo, Q., Xie, H.: Non-degeneracy of peak solutions to the Schrödinger–Newton system. Adv. Nonlinear Stud. 21, 447–460 (2021)
Gao, F., Yang, M.: The Brezis–Nirenberg type critical problem for the nonlinear Choquard equation. Sci. China Math. 61, 1219–1242 (2018)
He, X., Rǎdulescu, V.D.: Small linear perturbations of fractional Choquard equations with critical exponent. J. Differ. Equ. 282, 481–540 (2021)
Lions, P.: The Choquard equation and related questions. Nonlinear Anal. 4, 1063–1072 (1980)
Li, Y., Li, G., Tang, C.: Existence and concentration of ground state solutions for Choquard equations involving critical growth and steep potential well. Nonlinear Anal. 200, 111997 (2020)
Luo, P., Peng, S., Wang, C.: Uniqueness of positive solutions with concentration for the Schrödinger–Newton problem. Calc. Var. Partial Differ. Equ. 59 (2020). Paper No. 60
Liu, M., Tang, Z.: Multiplicity and concentration of solutions for Choquard equation via Nehari method and pseudo-index theory. Discret. Contin. Dyn. Syst. 39, 3365–3398 (2019)
Moroz, V., Van Schaftingen, J.: A guide to the Choquard equation. J. Fixed Point Theory Appl. 19, 773–813 (2017)
Ma, L., Zhao, L.: Classification of positive solitary solutions of the nonlinear Choquard equation. Arch. Ration. Mech. Anal. 195, 455–467 (2010)
Shen, Z., Gao, F., Yang, M.: On critical Choquard equation with potential well. Discret. Contin. Dyn. Syst. 38, 3567–3593 (2018)
Wei, J., Winter, M.: Strongly interacting bumps for the Schrödinger–Newton equations. J. Math. Phys. 50, 012905 (2009)
Zhang, H., Zhang, F.: Multiplicity and concentration of solutions for Choquard equations with critical growth. J. Math. Anal. Appl. 481, 123457 (2020)