Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tính đều đặn metric, điểm cố định và một số vấn đề liên quan trong phân tích biện luận
Tóm tắt
Bài báo này chủ yếu liên quan đến mối quan hệ giữa tính đều đặn metric và lý thuyết điểm cố định metric. Ở giai đoạn đầu của sự phát triển lý thuyết đều đặn, có cảm giác rằng mọi tiêu chí đều đặn có thể được thiết lập với sự hỗ trợ của một nguyên lý ánh xạ co (có giá trị tập hợp) phù hợp. Mặt khác, các giả định của các định lý điểm cố định metric nổi tiếng (ví dụ: của Nadler (1969) hoặc của Dontchev và Hager (1994)) ngụ ý tính đều đặn metric của ánh xạ nghịch đảo. Thông điệp của bài báo là, dù vậy, các lý thuyết này là độc lập mặc dù các nguyên tắc cơ bản mà chúng dựa vào có nhiều điểm tương đồng. Kết quả chính đầu tiên của bài báo đảm bảo sự tồn tại của một điểm cố định nếu thuộc tính co chỉ giữ dọc theo các quỹ đạo của ánh xạ (thay vì cho cặp điểm tùy ý trong khu vực khả thi) và thực sự chỉ trên một số phần được giới hạn của các quỹ đạo được xác định bởi điều kiện “horizon đều đặn” nhất định. Phần lớn bài báo dành cho việc nghiên cứu “mô hình hai ánh xạ” khi chúng ta có hai ánh xạ có giá trị tập hợp hành động theo hướng ngược lại và chúng ta quan tâm đến sự tồn tại của cái gọi là điểm cố định đôi. Chúng tôi xem xét hai loại quy trình lặp để tìm kiếm một điểm cố định, một dựa trên các vòng lặp Picard đơn giản và cái còn lại dựa trên phiên bản Lyusternik–Graves của phương pháp Newton, về nguyên tắc có thể dẫn đến các điểm cố định khác nhau, mặc dù ấn tượng là các ước lượng do quy trình đầu tiên cung cấp có thể tốt hơn. Bài báo kết thúc bằng một cuộc thảo luận về vấn đề đều đặn cho các hợp thành của các ánh xạ có giá trị tập hợp. Bài báo cũng bao gồm một số ví dụ.
Từ khóa
#Tính đều đặn metric #điểm cố định #ánh xạ có giá trị tập hợp #lý thuyết điểm cố định #phân tích biện luậnTài liệu tham khảo
A. V. Arutyunov, Covering mappings in metric spaces, and fixed points. Dokl. Acad. Nauk 416 (2007), 151–155 (in Russian); English transl.: Dokl. Math. 76 (2007), 665–668.
Arutyunov A., Avakov E., Gel’man B., Dmitruk A., Obukhovski V.: Locally covering maps in metric spaces and coincidence points. J. Fixed Point Theory Appl. 5, 106–127 (2009)
Beer G., Dontchev A. L.: The weak Ekeland variational principle and fixed points. Nonlinear Anal. 102, 91–96 (2014)
A. V. Dmitruk, A. A. Milyutin and N. P. Osmolovskii, Lyusternik’s theorem and the theory of extrema. Russian Math. Surveys 35 (1980), 11–51.
Dontchev A. L., Frankowska H.: Lyusternik-Graves theorem and fixed points. Proc. Amer. Math. Soc. 139, 521–534 (2011)
Dontchev A. L., Frankowska H.: Lyusternik-Graves theorem and fixed points II. J. Convex Anal. 19, 955–973 (2012)
A. L. Dontchev and W. W. Hager, An inverse mapping theorem for set-valued maps. Proc. Amer. Math. Soc. 121 (1994), 481–489.
A. L. Dontchev and R. T. Rockafellar, Implicit Function and Solution Mapping: A View from Variational Analysis. Springer, Dordrecht, 2009.
M. Durea, Van Ngai Huynhb, H. T. Nguyen and R. Strugariu, Metric regularity of composition set-valued mappings: Metric setting and coderivative conditions. J. Math. Anal. Appl. 412 (2014), 41–62.
Feng Y., Liu S.: Fixed point theorems for multi-valued contractive mappings and multi-valued Caristi type mappings. J. Math. Anal. Appl. 317, 103–112 (2006)
A. D. Ioffe, Metric regularity and subdifferential calculus. Uspekhi Mat. Nauk 55 (2000), 103–162 (in Russian); English transl.: Russian Math. Surveys 55 (2000), 501–558.
Ioffe A. D.: Towards variational analysis in metric spaces: Metric regularity and fixed points. Math. Program. 123, 241–252 (2010)
Ioffe A. D.: Regularity on a fixed set. SIAM J. Optim. 21, 1345–1370 (2011)
A. D. Ioffe and V. M. Tihomirov, Theory of Extremal Problems. Nauka, Moscow, 1974 (in Russian); English transl.: North-Holland, Amsterdam, 1979.
S. B. Nadler, Jr., Multi-valued contraction mappings. Pacific J. Math. 30 (1969), 475–488.