Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương Trình Vi Phân Đo Đạc
Tóm tắt
Một loại phương trình vi phân mới cho các đo lường xác suất trên các không gian Euclid, được gọi là phương trình vi phân đo lường (viết tắt là MDE), đã được giới thiệu. MDE tương ứng với các trường vectơ xác suất, mà ánh xạ các đo lường trên một không gian Euclid tới các đo lường trên chùm tiếp tuyến của nó. Các nghiệm được định nghĩa theo nghĩa yếu và các kết quả về sự tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục được chứng minh dưới các điều kiện thích hợp. Các điều kiện này được biểu diễn theo metric Wasserstein trên cơ sở và sợi của chùm tiếp tuyến. MDE đại diện cho một sự tổng quát tự nhiên theo lý thuyết đo lường của các phương trình vi phân thông thường thông qua một phép biến hình monoid ánh xạ các tổng của các trường vectơ tới phép tích chập sợi của các trường vectơ xác suất tương ứng. Nhiều ví dụ khác nhau, bao gồm khuếch tán tốc độ hữu hạn và sự tập trung, được trình bày, cùng với các mối quan hệ tới các phương trình vi phân từng phần. Cuối cùng, MDE cũng là các giới hạn tự nhiên theo trường trung bình của các hệ thống đa hạt, với các kết quả hội tụ mở rộng phương pháp cổ điển Dobrushin.
Từ khóa
#phương trình vi phân #đo lường xác suất #không gian Euclid #trường vectơ #metric Wasserstein #chùm tiếp tuyến #lý thuyết đo lườngTài liệu tham khảo
Ambrosio, L., Gigli, N., Savaré, G.: Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, 2nd edn. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Birkhäuser, Basel (2008)
Bardi, M., Capuzzo-Dolcetta, I.: Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman Equations. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA (1997)
Bertozzi, A.L., Laurent, T., Rosado, J.: \(L^p\) theory for the multidimensional aggregation equation. Commun. Pure Appl. Math. 64(1), 45–83 (2011)
Bonaschi, G.A., Carrillo, J.A., Di Francesco, M., Peletier, M.A.: Equivalence of gradient flows and entropy solutions for singular nonlocal interaction equations in 1D. ESAIM Control Optim. Calc. Var. 21(2), 414–441 (2015)
Bressan, A.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws, Volume 20 of Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications. Oxford University Press, Oxford (2000)
Carrillo, J.A., Fornasier, M., Rosado, J., Toscani, G.: Asymptotic flocking dynamics for the kinetic Cucker-Smale model. SIAM J. Math. Anal. 42(1), 218–236 (2010)
Cavagnari, G., Marigonda, A., Piccoli, B.: Optimal synchronization problem for a multi-agent system. Netw. Heterog. Media 12(2), 277–295 (2017)
Cristiani, E., Piccoli, B., Tosin, A.: Modeling self-organization in pedestrians and animal groups from macroscopic and microscopic viewpoints. In: Naldi, G., Pareschi, L., Toscani, G. (eds.) Mathematical Modeling of Collective Behavior in Socio-Economic and Life Sciences, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology, pp. 337–364. Birkhäuser, Boston (2010)
DiPerna, R.J., Lions, P.-L.: On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability. Ann. Math. 130(2), 321–366 (1989)
Dobrušin, R.L.: Vlasov equations. Funktsional. Anal. i Prilozhen. 13(2), 48–58 (1979)
Golse, F.: The mean-field limit for the dynamics of large particle systems. In: Journées ``Équations aux Dérivées Partielles'', pp. Exp. No. IX, 47. Univ. Nantes, Nantes (2003)
Martin Jr., R.H.: Nonlinear operators and differential equations in Banach spaces. Wiley-Interscience, New York (1976)
Øksendal, B.: Stochastic Differential Equations. Universitext. 6th edn., Springer, Berlin (2003)
Poupaud, F., Rascle, M.: Measure solutions to the linear multi-dimensional transport equation with non-smooth coefficients. Commun. Partial Differ. Equ. 22(1–2), 337–358 (1997)
Santambrogio, F.: Optimal Transport for Applied Mathematicians, Volume 87 of Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Birkhäuser, Cham (2015)
Schwartz, J.T.: Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York (1969). Notes by H. Fattorini, R. Nirenberg and H. Porta, with an additional chapter by Hermann Karcher, Notes on Mathematics and its Applications
Villani, C.: Topics in Optimal Transportation, Volume 58 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI (2003)
Villani, C.: Optimal Transport. Springer, Berlin (2009)