Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các Phương Trình Tích Phân Đặc Biệt Vùng Biên Địa Phương Dựa Trên Parametrix Đơn Hình Cho Các PDE Elliptic Dạng Phân Kỳ Với Các Hệ Số Ma Trận Biến Đổi
Tóm tắt
Bằng cách sử dụng các tiềm năng tích phân địa phương liên quan đến toán tử Laplace, các bài toán giá trị biên Dirichlet, Neumann và Robin cho các phương trình vi phân riêng phần elliptic bậc hai dạng phân kỳ với hệ số biến đổi chung được giản lược thành một số hệ thống phương trình tích phân đặc biệt trên vùng biên địa phương. Tính tương đương của các hệ thống phương trình tích phân với các bài toán giá trị biên gốc được chứng minh. Nó được xác lập rằng các toán tử tích phân miền biên địa phương tương ứng thuộc đại số Boutet de Monvel của các toán tử vi phân giả. Áp dụng lý thuyết Vishik–Eskin dựa trên phương pháp phân tích, các thuộc tính Fredholm và khả năng đảo ngược của các toán tử được chứng minh trong các không gian Sobolev thích hợp.
Từ khóa
#Phương trình vi phân riêng phần #giá trị biên Dirichlet #giá trị biên Neumann #giá trị biên Robin #tích phân đặc biệt vùng biên #không gian Sobolev #toán tử vi phân giả.Tài liệu tham khảo
Agranovich M.S.: Elliptic singular integro-differential operators. Uspekhi Mat. Nauk 20(5), 3–120 (1965)
Agranovich M.S., Voitovich N.N., Katsenelenbaum B.Z., Sivov A.N.: Generalized Method of Eigenoscillations in Diffraction Theory. Wiley, Berlin (1999)
Ayele, T.G., Mikhailov, S.E.: Two-operator boundary-domain integral equations for a variable-coefficient BVP. In: Constanda, C., Pérez, M. (eds.) Integral Methods in Science and Engineering. Analytic Methods, vol. 1, pp. 29–39. Birkhäuser, Boston (2010). ISBN 978-08176-4898-5
Ayele T.G., Mikhailov S.E.: Analysis of two-operator boundary-domain integral equations for a variable-coefficient mixed BVP. Eurasian Math. J. 2, 20–41 (2011)
Boutet de Monvel L.: Boundary problems for pseudo-differential operators. Acta Math. 126, 11–51 (1971)
Chazarain J., Piriou A.: Introduction to the Theory of Linear Partial Differential Equations. North-Holland, Amsterdam (1982)
Chkadua O., Mikhailov S., Natroshvili D.: Analysis of direct boundary-domain integral equations for a mixed BVP with variable coefficient. I: Equivalence and invertibility. J. Integral Equ. Appl. 21, 499–542 (2009)
Chkadua O., Mikhailov S., Natroshvili D.: Analysis of direct boundary-domain integral equations for a mixed BVP with variable coefficient. II: Solution regularity and asymptotics. J. Integral Equ. Appl. 22, 19–37 (2010)
Chkadua O., Mikhailov S., Natroshvili D.: Analysis of some localized boundary-domain integral equations. J. Integral Equ. Appl. 21, 407–447 (2009)
Chkadua O., Mikhailov S.E., Natroshvili D.: Analysis of segregated boundary-domain integral equations for variable-coefficient problems with cracks. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 27, 121–140 (2011)
Chkadua, O., Mikhailov, S.E., Natroshvili, D.: Analysis of some localised boundary-domain integral equations for transmission problems with variable coefficients. In: Constanda, C., Harris, P. (eds.) Integral Methods in Science and Engineering, pp. 91–108. Birkhäuser, Boston (2011). ISBN 978-0-8176-8237-8
Chkadua O., Mikhailov S.E., Natroshvili D.: Localized direct segregated boundary-domain integral equations for variable-coefficient transmission problems with interface crack. Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 52, 17–64 (2011)
Chkadua, O., Mikhailov, S.E., Natroshvili, D.: Analysis of direct segregated boundary-domain integral equations for variable-coefficient mixed BVPs in exterior domains. Anal. Appl. 11 (2013). doi:10.1142/S0219530513500061
Costabel M.: Boundary integral operators on Lipschitz domains: elementary results. SIAM J. Math. Anal. 19, 613–626 (1988)
Eskin, G.: Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferential Equations. Translation of Mathematical Monographs, vol. 52. American Mathematical Society, Providence (1981) [Russian original: Nauka Publishing, Moscow (1973)]
Grisvard P.: Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. Pitman, Boston (1985)
Grubb G.: Distributions and Operators. Springer, New York (2009)
Hsiao G.C., Wendland W.L.: Boundary Integral Equations. Springer, Berlin (2008)
Lions J.-L., Magenes E.: Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications, vol. I. Springer, New York (1972)
McLean W.: Strongly Elliptic Systems and Boundary Integral Equations. Cambridge University Press, Cambridge (2000)
Mikhailov S.E.: Localized boundary-domain integral formulation for problems with variable coefficients. Int. J. Eng. Anal. Bound. Elem. 26, 681–690 (2002)
Mikhailov S.E.: Localized direct boundary-domain integro-differential formulations for scalar nonlinear boundary-value problems with variable coefficients. J. Eng. Math. 51, 283–302 (2005)
Mikhailov S.E.: Analysis of united boundary-domain integro-differential and integral equations for a mixed BVP with variable coefficient. Math. Methods Appl. Sci. 29, 715–739 (2006)
Mikhailov S.E.: Traces, extensions and co-normal derivatives for elliptic systems on Lipschitz domains. J. Math. Anal. Appl. 378, 324–342 (2011)
Mikhailov S.E., Nakhova I.S.: Mesh-based numerical implementation of the localized boundary-domain integral equation method to a variable-coefficient Neumann problem. J. Eng. Math. 51, 251–259 (2005)
Mikhlin S.G., Prössdorf S.: Singular Integral Operators. Springer, Berlin (1986)
Miranda C.: Partial Differential Equations of Elliptic Type. Springer, New York (1970)
Rempel S., Schulze B.-W.: Index Theory of Elliptic Boundary Problems. Akademie-Verlag, Berlin (1982)
Shargorodsky E.: An \({\mathbb{L}_p}\) -analogue of the Vishik–Eskin theory. Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2, 41–146 (1994)
Sladek J., Sladek V., Atluri S.N.: Local boundary integral equation (LBIE) method for solving problems of elasticity with nonhomogeneous material properties. Comput. Mech. 24(6), 456–462 (2000)
Taigbenu A.E.: The Green Element Method. Kluwer, Dordrecht (1999)
Zhu T., Zhang J.-D., Atluri S.N.: A local boundary integral equation (LBIE) method in computational mechanics, and a meshless discretization approach. Comput. Mech. 21, 223–235 (1998)
Zhu T., Zhang J.-D., Atluri S.N.: A meshless numerical method based on the local boundary integral equation (LBIE) to solve linear and non-linear boundary value problems. Eng. Anal. Bound. Elem. 23, 375–389 (1999)