Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Định lý kiểu Liouville về các nghiệm biến đổi dấu cho bất đẳng thức elliptic phi địa phương và hệ thống với phi tuyến số mũ biến đổi
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét bất đẳng thức elliptic dạng phân số với phi tuyến số mũ biến đổi
$$\begin{aligned} (-\Delta )^{\frac{\alpha }{2}} u + \lambda \, \Delta u \ge |u|^{p(x)}, \quad x \in {\mathbb {R}}^N, \end{aligned}$$
trong đó
$$N \ge 1$$,
$$\alpha \in (0,2)$$,
$$\lambda \in {\mathbb {R}}$$ là một hằng số,
$$p: {\mathbb {R}}^N \rightarrow (1,\infty )$$ là một hàm đo được,
và
$$(-\Delta )^{\frac{\alpha }{2}}$$ là toán tử Laplacian dạng phân số bậc $$\frac{\alpha }{2}$$. Một định lý kiểu Liouville đã được thiết lập cho bài toán đã xem xét. Cụ thể, chúng tôiobtained các điều kiện đủ để nghiệm yếu duy nhất là nghiệm tầm thường. Tiếp theo, chúng tôi mở rộng nghiên cứu của mình đến các hệ thống bất đẳng thức elliptic dạng phân số với phi tuyến số mũ thay đổi. Ngoài việc xem xét các phi tuyến số mũ thay đổi, điểm mới của công trình này là điều tra các nghiệm thay đổi dấu cho các bài toán đã xem xét. Cụ thể, theo như chúng tôi biết, chỉ kết quả không tồn tại của các nghiệm dương cho các bài toán elliptic dạng phân số đã được nghiên cứu trước đây. Phương pháp của chúng tôi dựa trên phương pháp năng lực phi tuyến kết hợp với một ước lượng điểm của toán tử Laplacian dạng phân số của một số hàm thử nghiệm, được đưa ra bởi Fujiwara (Math Methods Appl Sci 41:4955–4966, 2018) [cũng xem Dao và Reissig (Kết quả phát nổ cho các phương trình tiến hóa semi-linear có cấu trúc giảm nhẹ, arXiv:1909.01181v1, 2019)]. Lưu ý rằng phương pháp năng lực phi tuyến tiêu chuẩn không thể áp dụng cho các vấn đề đã xem xét do sự thay đổi dấu của các nghiệm.
Từ khóa
#bất đẳng thức elliptic #nghiệm yếu #phi tuyến số mũ biến đổi #toán tử Laplacian dạng phân số #định lý kiểu Liouville #nghiệm thay đổi dấuTài liệu tham khảo
Baras, P., Kersner, R.: Local and global solvability of a class of semilinear parabolic equations. J. Differ. Equations 68(2), 238–252 (1987)
Baras, P., Pierre, M.: Critère d’existence de solutions positives pour des équations semi-linéaires non monotones. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2, 185–212 (1985)
Bidaut-Véron, M.-F., Pohozaev, S.I.: Nonexistence results and estimates for some nonlinear elliptic problems. J. Anal. Math. 84, 1–49 (2001)
Bogdan, K., Burdzy, K., Chen, Z.-Q.: Censored stable processes. Probab. Theory Relativ. 127, 89–152 (2003)
Brandle, C., Colorado, E., de Pablo, A., Sanchez, U.: A concave-convex elliptic problem involving the fractional Laplacian. Proc. Edinb. Math. Soc. 143, 39–71 (2013)
Caffarelli, L., Silvestre, L.: An extension problem related to the fractional Laplacian. Commun. Partial Differ. Equations 32, 1245–1260 (2007)
Caristi, G., D’Ambrosio, L., Mitidieri, E.: Liouville theorems for some nonlinear inequalities. Proc. Steklov Inst. Math. 260, 90–111 (2008)
Chen, Z.-Q., Song, R.: Two-sided eigenvalue estimates for subordinate processes in domains. J. Funct. Anal. 226, 90–113 (2005)
Cont, R., Tankov, P.: Financial Modelling with Jump Processes. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton (2004)
Dahmani, Z., Karami, F., Kerbal, S.: Nonexistence of positive solutions to nonlinear nonlocal elliptic systems. J. Math. Anal. Appl. 346, 22–29 (2008)
Dancer, E.N., Yang, H., Zou, W.: Liouville-type results for a class of quasilinear elliptic systems and applications. J. Lond. Math. Soc. 99(2), 273–294 (2019)
Dao, T.A., Reissig, M.: A blow-up result for semi-linear structurally damped \(\sigma \)-evolution equations (2019). arXiv:1909.01181v1
Diening, L., Harjulehto, P., Hästö, P., Mizuta, Y., Shimomura, T.: Maximal functions in variable exponent spaces: limiting cases of the exponent. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 34(2), 503–522 (2009)
Diening, L., Harjulehto, P., Hästö, P., Ruzicka, M.: Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2017. Springer, Heidelberg (2011)
Farina, A., Serrin, J.: Entire solutions of completely coercive quasilinear elliptic equations. J. Differ. Equations 250(12), 4367–4408 (2011)
Filippucci, R.: Quasilinear elliptic systems in \({\mathbb{R}}^N\) with multipower forcing terms depending on the gradient. J. Differ. Equations. 255(7), 1839–1866 (2013)
Filippucci, R.: Nonexistence of positive weak solutions of elliptic inequalities. Nonlinear Anal. 70, 2903–2916 (2009)
Filippucci, R.: Nonexistence of nonnegative solutions of elliptic systems of divergence type. J. Differ. Equations. 250, 572–595 (2011)
Filippucci, R., Vinti, F.: Coercive elliptic systems with gradient terms. Adv. Nonlinear Anal. 6(2), 165–182 (2017)
Fujiwara, K.: A note for the global nonexistence of semirelativistic equations with nongauge invariant power type nonlinearity. Math. Methods Appl. Sci. 41, 4955–4966 (2018)
Ghergu, M., Giacomoni, J., Singh, G.: Global and blow-up radial solutions for quasilinear elliptic systems arising in the study of viscous, heat conducting uids. Nonlinearity 32(4), 1546–1569 (2019)
Gidas, B., Spruck, J.: Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations. Commun. Pure Appl. Math. 34, 525–598 (1981)
Gunzburger, M., Jian, N., Xu, F.: Analysis and approximation of a fractional Laplacian-based closure model for turbulent flows and its connection to Richardson pair dispersion. Comput. Math. Appl. 75(6), 1973–2001 (2018)
Ju, N.: The maximum principle and the global attractor for the dissipative 2D quasi-geostrophic equations. Commun. Math. Phys. 255, 161–181 (2005)
Kirane, M., Qafsaoui, M.: Global nonexistence for the Cauchy problem of some nonlinear Reaction-Diffusion systems. J. Math. Anal. Appl. 268, 217–243 (2002)
Kwaśnicki, M.: Ten equivalent definitions of the fractional laplace operator. Fract. Calc. Appl. Anal. 20, 7–51 (2017)
Michelitsch, T.M., Maugin, G.A., Nowakowski, A.F., Nicolleau, F.C.G.A., Rahman, M.: The fractional Laplacian as a limiting case of a self-similar spring model and applications to \(n\)-dimensional anomalous diffusion. Fract. Calc. Appl. Anal. 16(4), 827–859 (2013)
Mitidieri, E., Pohozaev, S.I.: Absence of global positive solutions of quasilinear elliptic inequalities. Dokl. Akad. Nauk 359(4), 456–460 (1998)
Mitidieri, E., Pohozaev, S.I.: Nonexistence of positive solutions for quasilinear elliptic problems on \({\mathbb{R}}^N\). Proc. Steklov Inst. Math. 227, 186–216 (1999)
Mitidieri, E., Pohozaev, S.I.: Absence of positive solutions for systems of quasilinear elliptic equations and inequalities in \({\mathbb{R}}^N\). Dokl. Math. 59(3), 351–355 (1999)
Mitidieri, E., Pohozaev, S.I.: A priori estimates and the absence of solutions of nonlinear partial differential equations and inequalities. Trudy Mat. Inst. Steklova 234, 1–384 (2001)
Ni, W.-M., Serrin, J.: Existence and nonexistence theorems for ground states of quasilinear partial differential equations. The anomalous case. Accad. Naz. Lincei Conv. dei Lincei. 77, 231–257 (1986)
Poláčik, P., Quittner, P., Souplet, P.: Singularity and decay estimates in superlinear problems via Liouville-type theorems, Part I; elliptic systems. Duke Math. J. 139, 555–579 (2007)
Quaas, A., Xia, A.: A Liouville type theorem for Lane Emden systems involving the fractional Laplacian. Nonlinerity 29, 2279–2297 (2016)
Serrin, J., Zou, H.: Non-existence of positive solutions of Lane–Emden systems. Differ. Integral Equations 9, 635–653 (1996)
Serrin, J., Zou, H.: Cauchy–Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities. Acta Math. 189(1), 79–142 (2002)
Silvestre, L.: Regularity of the obstacle problem for a fractional power of the Laplace operator. Commun. Pure Appl. Math. 60(1), 67–112 (2007)
Souplet, P.: The proof of the Lane-Emden conjecture in four space dimensions. Adv. Math. 221, 1409–1427 (2009)
Sun, Y.: Uniqueness result for non-negative solutions of semi-linear inequalities on Riemannian manifolds. J. Math. Anal. Appl. 419, 643–661 (2014)
Wang, Y., Xiao, J.: A uniqueness principle for \(u^p\le (-\Delta )^{\frac{\alpha }{2}}u\) in the Euclidean space. Commun. Contemp. Math. 1650019 (2016)
Zhuo, R., Chen, W., Cui, X., Yuan, Z.: Symmetry and non-existence of solutions for a nonlinear system involving the fractional Laplacian. Discrete Contin. Dyn. Syst. 36, 1125–1141 (2016)