Les sous-groupes fermés de rang maximum des groupes de Lie clos

H. Hopf, Über den Rang geschlossener Liescher Gruppen, Comm. Math. Helv.13 (1940-41), p. 119–143, No 23.

E. Cartan, La théorie des groupes finis et continus et l’analysis situs. Mémorial Sc. Math.XLII, Paris 1930, No 42.

Pour les théorèmes de ce paragraphe, voirE. Stiefel, Über eine Beziehung zwischen geschlossenen Lieschen Gruppen und …, Comm. Math. Helv.14, 1941/42, p. 350–379.

Les formes $$ \pm 2\pi \sqrt { - 1} \vartheta _i $$ sont les racines deG, au sens de la théorie infinitésimale; les éléments singuliers du texte et contenus dansT l ∩U(e) sont portés par les groupes à un paramètre qu’engendrent les transformations infinitésimales deT l dont le polynôme caractéristique admet la racine zéro avec une multiplicité plus grande quel.

VoirB. L. van der Waerden, Die Klassifikation der einfachen Lieschen Gruppen, Math. Zeitschr.37, 1933, pp. 448; aussiE. Stiefel, l. c. note 3, p. 378; les vecteurs définis par M. Stiefel ne sont pas exactement les vecteurs racines, mais ont les longueurs inversément proportionnelles.

E. Cartan, La géométrie des groupes simples, Annali di Matematica t.4, 1927, pp. 211, spéc. Chap. I et t.5, 1928, pp. 253, où l’on trouve du reste une grande partie des notions et théorèmes indiqués dans le No 1, mais introduits à l’aide de la théorie infinitésimale.

Voir par exempleE. Cartan,, l. c. note 2, No 52.

cf.E. Cartan,, l. c. 2), nos 17, 18, 28, 29.

Selon l’usage habituel,B l désigne la structure du groupe unimodulaire orthogonal à 2l+1 variables,D l celle du groupe unimodulaire orthogonal à 2l variables.

Du point de vue infinitésimal, ce lemme résulte, pour les groupes à paramètres complexes, de théorèmes connus (cf.Cartan, Thèse, p. 55, th. 5).

Ils se trouvent par exemple dans:E. Stiefel,, l. c. note 3.

Nous désignons ainsi l’ensemble des éléments deG échangeables avec tous les éléments deT l représentés par des points deR l−2 .R l−2 recouvre un sous-groupefermé àl—2 paramètres deT l , carR l−2 a en commun avec le réseau unité un réseau àl—2 dimensions (cf.E. Stiefel,, l. c., p. 361).

Ce système est compatible, car les formes linéaires ϑ1,…,ϑ h sont indépendantes (eth≤l).

Ici et dans la suite de ce travail,G′ sous-groupemaximum deG signifie:G′ n’est contenu dans aucun sous-groupeconnexe deG différent deG ou deG′.

VoirE. Cartan,, l. c., note 6; aussi l. c., note 2, No 48.

Il n’est pas exclu que certains des sous-groupes maxima donnés par (a) et (b) soient isomorphes; tout au moins est-on sûr qu’ils ne sont pas homologues dans le groupe adjointconnexe.

E. Cartan, Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann, Bull. Soc. Math. France, t.55, 1927, p. 126–132.

Cela veut dire que les éléments deK sont dans un entourageU de l’unitée deG, comprennente et dépendent de façon continue den′ paramètres; de plus le produit de deux éléments deK appartient àK s’il est contenu dansU; d’après un théorème deE. Cartan, l. c., note 2, No. 26,K est un groupe de Lie et ses points forment une variété analytique dans un système de coordonnées analytiques deG. C’est en particulier une portion de plan àn′ dimensions dans un système de coordonnées canoniques; enfin, en restreignant éventuellement la variété deK, on peut supposer queK possède l’inverse de chacun de ses éléments.

E. Cartan, l. c.,, note 2, No 41.