Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Bài toán nghịch với việc quá xác định loại ba cho phương trình vi phân bậc hai trừu tượng
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét một bài toán nghịch tuyến tính cho một phương trình vi phân bậc hai trừu tượng trong không gian Banach. Thành phần không đồng nhất không thay đổi theo thời gian trong phương trình được giả định là chưa biết. Các điều kiện Cauchy chuẩn được thiết lập tại thời điểm ban đầu. Chúng được bổ sung bằng một điều kiện phụ, một sự quá xác định cuối cùng của loại ba, bao gồm một tổ hợp các giá trị của hàm tiến hóa và đạo hàm của nó tại một thời điểm cuối cùng đã chọn. Một tiêu chí cho tính duy nhất của nghiệm được thiết lập dưới dạng phổ thông qua các nghiệm của hàm toàn phần đặc trưng cho bài toán. Kết quả này là phổ quát và không yêu cầu bất kỳ hạn chế nào về loại phương trình vi phân. Việc phân bố các nghiệm của hàm đặc trưng được thảo luận riêng biệt. Phân tích của chúng tôi cung cấp một số xét nghiệm đủ hiệu quả cho tính duy nhất (và không duy nhất) của nghiệm. Tất cả các xét nghiệm này đều đơn giản và thuận tiện trong thực hành.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Denisov, A.M., Vvedenie v teoriyu obratnykh zadach (Introduction to the Theory of Inverse Problems), Moscow: Izd. Mosk. Gos. Univ., 1994.
Prilepko, A.I., Orlovsky, D.G., and Vasin, I.A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, New York–Basel: Marcel Dekker, 2000.
Krasnosel’skii, M.A., Zabreiko, P.P., Pustyl’nik, E.I., and Sobolevskii, P.E., Integral’nye operatory v prostranstvakh summiruemykh funktsii (Integral Operators in Spaces of Integrable Functions), Moscow: Nauka, 1966.
Tikhonov, I.V. and Eidel’man, Yu.S., An inverse problem for a differential equation in a Banach space and the distribution of zeros of an entire Mittag-Leffler function, Differ. Equations, 2002, vol. 38, no. 5, pp. 669–677.
Almokhamed, M., Uniqueness criterion for a linear inverse problem with final overdetermination of the second type, Vestn. Voronezh. Gos. Univ. Ser. Fiz. Mat., 2019, no. 3, pp. 50–58.
Prilepko, A.I., Inverse problems of potential theory (elliptic, parabolic, hyperbolic equations and transport equation), Math. Notes, 1973, vol. 14, no. 5, pp. 990–996.
Prilepko, A.I., Selected questions in inverse problems of mathematical physics, in Uslovno-korrektnye zadachi matematicheskoi fiziki i analiza (Conditionally Well-Posed Problems of Mathematical Physics and Analysis), Novosibirsk: Nauka, 1992, pp. 151–162.
Iskenderov, A.D. and Tagiev, R.G., Обратная задача об определении правых частей эволюционных уравнений в банаховом пространстве, Vopr. Prikl. Mat. Kibern. Nauchn. Tr. Azerb. Uniy., 1979, no. 1, pp. 51–56.
Eidel’man, Yu.S., Uniqueness of the solution of the inverse problem for a differential equation in a Banach space, Differ. Uravn., 1987, vol. 23, no. 9, pp. 1647–1649.
Tikhonov, I.V. and Eidel’man, Yu.S., The unique solvability of a two-point inverse problem for an abstract differential equation with an unknown parameter, Differ. Equations, 2000, vol. 36, no. 8, pp. 1256–1258.
Tikhonov, I.V., A generalized Ward problem for abstract differential equations, Differ. Equations, 2005, vol. 41, no. 3, pp. 340–351.
Tikhonov, I.V. and Almohamed M., On one inverse problem for a high-order differential equation in a Banach space, in Nekotorye aktual’nye problemy sovremennoi matematiki i matematicheskogo obrazovaniya (Some Topical Problems in Modern Mathematics and Mathematical Education), St. Petersburg: Izd. RGPU im. A.I. Gertsena, 2019, pp. 91–95.
Amirov, A.Kh., Solvability of the inverse problems for second-order equations, Funct. Anal. Appl., 1986, vol. 20, no. 3, pp. 236–237.
Orlovskii, D.G., On one inverse problem for a second-order differential equation in a Banach space, Differ. Equations, 1989, vol. 25, no. 6, pp. 730–738.
Orlovskii, D.G., On the problem of determining the parameter of the evolution equation, Differ. Equations, 1990, vol. 26, no. 9, pp. 1201–1207.
Tikhonov, I.V., Structural properties of null solutions of the abstract Cauchy problem, Integr. Preobrazov. Spets. Funkts. Inf. Byull., 2002, vol. 3, no. 1, pp. 22–38.
Tikhonov, I.V. and Almohamed M., Generalized exponentials and their application to the theory of differential equations, Sist. Komp’yut. Mat. Pril. Smolensk, 2020, no. 21, pp. 345–353.
Popov, A.Yu. and Sedletskii, A.M., Distribution of roots of Mittag-Leffler functions, J. Math. Sci., 2013, vol. 190, no. 2, pp. 209–409.
Levin, B.Ya., Raspredelenie kornei tselykh funktsii (Distribution of Roots of Entire Functions), Moscow: GITTL, 1956.
Leont’ev, A.F., Tselye funktsii. Ryady eksponent (Entire Functions. Series of Exponentials), Moscow: Nauka, 1983.
Hille, E. and Phillips, R.S., Functional Analysis and Semi-Groups, Providence: Am. Math. Soc., 1957. Translated under the title: Funktsional’nyi analiz i polugruppy, Moscow: Izd. Inostr. Lit., 1962.
Pólya, G. and Szegö, G., Aufgaben und Lehrsátze aus der Analysis. Band II, Berlin–Heidelberg–New York: Springer, 1954. Translated under the title: Zadachi i teoremy iz analiza. Chast’ 2. Teoriya funktsii. Raspredelenie nulei. Polinomy. Opredeliteli. Teoriya chisel, Moscow: Nauka, 1978.
Müntz, Ch.H., Über den Approximationssatz von Weierstraß, in Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem Fünfzigjährigen Doctorjubiläum, Berlin–Heidelberg: Springer, 1914, pp. 303–312.
Kaczmarz, S. and Steinhaus, H., Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa–Lwów: Druk M. Garasinski, 1935. Translated under the title: Teoriya ortogonal’nykh ryadov, Moscow: Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit., 1958.
Masayoshi Hata, Problems and Solutions in Real Analysis. Series on Number Theory and Its Applications. Vol. 4, New Jersey–London–Singapore: World Sci., 2007.
Almohamed, M. and Tikhonov, I.V., On some spectral studies related to inverse problem theory, in Sovrem. problemy teorii funktsii i ikh prilozheniya: mater. 21-i mezhdunar. Saratovskoi zimnei shkoly (Modern Problems of Function Theory and Their Applications: Proc. 21st Int. Saratov Winter School), Saratov, 2022, pp. 20–26.
Tikhonov, I.V., Sherstyukov, V.B., and Almohamed, M., On some transcendental equations that matter for mathematical physics, in Sovrem. problemy teorii funktsii i ikh prilozheniya: mater. 21-i mezhdunar. Saratovskoi zimnei shkoly (Modern Problems of Function Theory and Their Applications: Proc. 21st Int. Saratov Winter School), Saratov, 2022, pp. 294–299.
Fadle, J., Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe, Ingenieur-Archiv (Arch. Appl. Mech.), 1940, vol. 11, pp. 125–149.
Buchwald, V.T., Eigenfunctions of plane elastostatics. I. The strip, Proc. R. Soc. London. Ser. A. Math. Phys. Sci., 1964, vol. 277, no. 1370, pp. 385–400.
Katopodes, F.V., Davis, A.M.J., and Stone, H.A., Piston flow in two-dimensional channel, Phys. Fluids, 2000, vol. 12, no. 5, pp. 1240–1243.
Hardy, G.H., On the zeroes of integral function \(x-\sin x=\sum _1^\infty (-1)^{n-1}\frac {x^{2n+1}}{2n+1!}\), Messenger Math., 1902, vol. 31, no. 11, pp. 161–165.
Markushevich, A.I., Tselye funktsii. Elementarnyi ocherk (Entire functions. Elementary Essay), Moscow: Nauka, 1975.
Eiler, L., Vvedenie v analiz beskonechnykh. T. 2 (perevod s latinskogo) (Introduction to the Analysis of Infinite. Vol. 2 (Translated from Latin)), Moscow: GIFML, 1961.
Comtet, L., Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinite Expansions, Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1974.
Kudryavtsev, L.D., Kutasov, A.D., Chekhlov, V.I., and Shabunin, M.I., Sbornik zadach po matematicheskomu analizu. T. 1. Predel. Nepreryvnost’. Differentsiruemost’ (Collection of Problems in Mathematical Analysis. Vol. 1. Limit. Continuity. Differentiability), Moscow: Fizmatlit, 2003.
Solov’ev, V.V., Solvability of inverse problems for an elliptic equation in a cylinder, Vestn. Mosk. Gos. Oblastn. Univ. Ser. Fiz. Mat., 2012, no. 1, pp. 27–38.
Almohamed, M., Reconstruction of the inhomogeneous term for Poisson’s equation with special boundary conditions, in Sovrem. problemy teorii funktsii i ikh prilozheniya: mater. 20-i mezhdunar. Saratovskoi zimnei shkoly (Modern Problems of Function Theory and Their Applications: Proc. 20th Int. Saratov Winter School), Saratov, 2020, pp. 30–32.
Bourgin, D.G. and Duffin, R., The Dirichlet problem for the vibrating string equation, Bull. Am. Math. Soc., 1939, vol. 45, no. 12, part 1, pp. 851–858.