Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các torus m-chiều bất biến của các hệ thống khả đảo với không gian pha có chiều lớn hơn 2m
Tóm tắt
Một trường vectơ V trong miền D được gọi là khả đảo với một sự đảo ngược G∶D→D, G2=id, nếu G biến đổi V thành trường đối (−V). Chúng tôi giả định rằng một trường khả đảo phân tích V có trạng thái cân bằng O cố định với sự đảo ngược phân tích, và trong số các giá trị riêng của sự tuyến tính hóa V tại O có 2m số phức thuần túy. Trong bài báo, chúng tôi chỉ ra rằng nếu trường như vậy thoả mãn một số điều kiện không cộng hưởng và không suy giảm, thì trong bất kỳ lân cận nào của O tồn tại các torus m-chiều bất biến có liên quan đến dòng chảy của trường này. Bài báo cũng chứa một số định lý khác của lý thuyết KAM khả đảo, trong số đó có các định lý về torus bất biến của các biến đổi diffeomorphism khả đảo.
Từ khóa
#Khả đảo #Trường vectơ #Torus bất biến #Lý thuyết KAM #Biến đổi diffeomorphism.Tài liệu tham khảo
V. I. Arnol'd, “Reversible systems,” in: Nonlinear and Turbulent Processes in Physics (Proc. 2nd Intern. Conf., Kiev, 1983), Vol. 3, Harwood Acad. Publishers, New York (1984), pp. 1161–1174.
V. I. Arnol'd and M. B. Sevryuk, “Oscillations and bifurcations in reversible systems,” in: Nonlinear Phenomena in Plasma Physics and Hydrodynamics, R. Z. Sagdeev (ed.), Mir, Moscow (1986), pp. 31–64.
M. B. Sevryuk, Reversible Systems, Lecture Notes in Math., Vol. 1211, Springer, Berlin (1986).
R. L. Devaney, “Reversible diffeomorphisms and flows,” Trans. Am. Math. Soc.,218, 89–113 (1976).
K. M. Khanin and Ya. G. Sinai, “The renormalization group method and Kolmogorov-Arnol'd-Moser theory,” in: Nonlinear Phenomena in Phasma Physics and Hydrodynamics, Mir, Moscow (1986), pp. 93–118.
J. K. Moser, “On the theory of quasiperiodic motions,” SIAM Rev.,8, No. 2, 145–172 (1966).
J. Moser, “Expansion of conditionally periodic motions in converging power series,” Usp. Mat. Nauk,24, No. 2, 165–211 (1969).
Yu. N. Bibikov, “A sharpening of a theorem of Moser,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,213, No. 4, 766–769 (1973).
V. K. Mel'nikov, “Some cases of conservation of conditionally periodic motions under a small change of the Hamiltonian function,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,165, No. 6, 1245–1248 (1965).
V. K. Mel'nikov, “A family of conditionally periodic solutions of a Hamiltonian system,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,181, No. 3, 546–549 (1968).
S. M. Graff, “On the conservation of hyperbolic invariant tori for Hamiltonian systems,” J. Diff. Equat.,15, No. 1, 1–69 (1974).
B. B. Lieberman, “Quasi-periodic solutions of Hamiltonian systems,” J. Diff. Equat.,11, No. 1, 109–137 (1972).
S. B. Kuksin, “Hamiltonian perturbations of finite-dimensional linear systems with imaginary spectrum,” Funkts. Analiz Prilozhen.,21, No. 3, 22–37 (1987).
Yu. N. Bibikov and V. A. Pliss, “Existence of invariant tori in a neighborhood of the zero solution of a system of ordinary differential equations,” Diff. Urav.,3, No. 11, 1864–1881 (1967).
Yu. N. Bibikov, “Existence of invariant tori in a neighborhood of an equilibrium state of a system of differential equations,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,185. No. 1, 9–12 (1969).
Yu. N. Bibikov, “Stability of periodic solutions in transcendental critical cases,” Diff. Urav.,6, No. 11, 1927–1945 (1970).
Yu. N. Bibikov, “Existence of conditionally periodic solutions of systems of differential equations,” Diff. Urav.,7, No. 8, 1347–1356 (1971).
J. K. Moser, Stable and Random Motions in Dynamical Systems (With Special Emphasis on Celestial Mechanics), Ann. of Math. Stud. Princeton, Vol. 77, Princeton Univ. Press (1973).
Yu. N. Bibikov, Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations, Lect. Notes in Math., Vol. 702, Springer, Berlin (1979).
J. Poschel, “Integrability of Hamiltonian systems on Cantor sets,” Commun. Pure Appl. Math.,35, No. 5, 653–696 (1982).
M. B. Sevryuk, “Invariant tori of reversible systems in a neighborhood of the equilibrium state,” Usp. Mat. Nauk,42, No. 4, 191–192 (1987).
J. Scheurle, “Bifurcation of a stationary solution of a dynamical system into n-dimensional tori of quasiperiodic solutions,” in: Lect. Notes in Math., Vol. 730 (Proc. Sumerschool Conf. Bonn, 1978), Springer, Berlin (1979), pp. 442–454.
J. Scheurle, “Uber die Konstruktion invarianter Tori, welche von einer stationären Grundlösung eines reversiblen dynamischen Systems abzweigen,” in: Intern. Ser. Numer. Math. (Proc. Conf. Math. Res. Inst. Oberwolfach, 1978), Vol. 48, Birkhauser, Basel (1979), pp. 134–144.
J. Scheurle, “Bifurcation of quasiperiodic solutions from equilibrium points of reversible dynamical systems,” Arch. Rat. Mech. Anal.,97, No. 2, 103–139 (1987).
J. Scheurle, “A class of quasiperiodic solutions for the plane three-body problem,” in: Methoden Verfahren Math. Phys. Frankfurt a. M. (Proc. Conf. Oberwolfach, 1980), Vol. 21, Peter D. Lang Verlag (1981), pp. 71–80.
J. Scheurle, “Quasiperiodic solutions of the plane three-body problem near Euler's orbits,” Celest. Mech.28, No. 1–2, 141–151 (1982).
K. Kirchgässner and J. Scheurle, “Global branches of periodic solutions of reversible systems,” Res. Notes in Math., Vol. 50 (Recent Contributions to Nonlinear Partial Differential Equations), Pitman, Boston (1981), pp. 103–130.
K. Kirchgässner, “Periodic and nonperiodic solutions of reversible systems,” in: Nonlinear Differential Equations (Proc. Intern. Conf. Trento, 1980), Academic Press, New York (1981), pp. 221–242.
K. Kirchgässner and J. Scheurle, “Bifurcation from the continuous spectrum and singular solutions,” Monographs Stud. Math., Vol. 11 (Trends in Applications of Pure Mathematics to Mechanics III), Pitman, Boston (1981), pp. 138–154.
K. Kirchgässner and J. Scheurle, “Bifurcation of nonperiodic solutions of some semilinear equations in unbounded domains,” in: Surveys Ref. Works Math., Vol. 6 (Applications of Nonlinear Analysis in the Physical Sciences), Pitman, Boston (1981), pp. 41–59.
I. O. Parasyuk, “Conservation of quasiperiodic motions of reversible multifrequency systems,” Dokl. Akad. Nauk Ukr. SSR, Series A, No. 9, 19–22 (1982).
I. O. Parasyuk, “Conservation of multidimensional invariant tori of Hamiltonian systems,” Ukr. Mat. Zhurn.,36, No. 4, 467–473 (1984).
A. D. Bryuno, “Integral analytic sets,” Dokl. Akad. Nauk SSSR,220, No. 6, 1255–1258 (1975).
R. C. Churchill and D. L. Rod, “Homoclinic and heteroclinic orbits of reversible vector fields under perturbation,” Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A,102, No. 3–4, 345–363 (1986).
S. Bochner, “Compact groups of differentiable transformations,” Ann. of Math., Ser. II.,46, No. 3, 372–381 (1945).
R. L. Devaney, “Blue sky catastrophes in reversible and Hamiltonian systems,” Indiana Univ. Math. J.,26, No. 2, 247–263 (1977).
R. L. Devaney, “Homoclinic bifurcations and the area-conserving Henon mapping,” J. Diff. Equat.,51, No. 254–266 (1984).