Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các tích phân của chuyển động trong hệ Hamilton tuần hoàn theo thời gian: Trường hợp của phương trình Mathieu
Tóm tắt
Chúng tôi trình bày một thuật toán để xây dựng các tích phân chuyển động gần đúng phân tích trong các Hamilton tuần hoàn theo thời gian đơn giản có dạng $$H=H_{0}+\varepsilon H_{i}$$, trong đó $$\varepsilon$$ là tham số nhiễu loạn. Chúng tôi áp dụng thuật toán của mình trong một hệ Hamilton có động lực học được điều khiển bởi phương trình Mathieu và xem xét chi tiết các quỹ đạo và các đường invariant stroboscopic của chúng cho các giá trị khác nhau của $$\varepsilon$$. Chúng tôi tìm các giá trị của $$\varepsilon_{crit}$$ vượt qua đó các quỹ đạo thoát ra vô cực và xây dựng các tích phân được biểu diễn dưới dạng chuỗi theo tham số nhiễu loạn $$\varepsilon$$ và hội tụ đến $$\varepsilon_{crit}$$. Trong trường hợp không có hiện tượng cộng hưởng, các đường invariant là các elip đồng tâm được xấp xỉ rất tốt bởi các tích phân của chúng tôi. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một tích phân của chuyển động mô tả đường invariant stroboscopic hyperbolic của một trường hợp cộng hưởng.
Từ khóa
#tích phân chuyển động #hệ Hamilton #phương trình Mathieu #quỹ đạo #đường invariant stroboscopicTài liệu tham khảo
Contopoulos, G. and Moutsoulas, M., Resonance Cases and Small Divisors in a Third Integral of Motion: 2, Astron. J., 1965, vol. 70, no. 10, pp. 817–835.
Gustavson, F. G., On Constructing Formal Integrals of a Hamiltonian System near an Equilibrium Point, Astron. J., 1966, vol. 71, no. 8, pp. 670–686.
Giorgilli, A., A Computer Program for Integrals of Motion, Comput. Phys. Commun., 1979, vol. 16, no. 3, pp. 331–343.
Efthymiopoulos, Ch. and Sándor, Zs., Optimized Nekhoroshev Stability Estimates for the Trojan Asteroids with a Symplectic Mapping Model of Co-Orbital Motion, Mon. Not. R. Astron. Soc., 2005, vol. 364, no. 1, pp. 253–271.
Contopoulos, G., Adiabatic Invariants and the “Third” Integral, J. Mathematical Phys., 1966, vol. 7, pp. 788–797.
Markeyev, A. P., Third-Order Resonance in a Hamiltonian System with One Degree of Freedom, J. Appl. Math. Mech., 1994, vol. 58, no. 5, pp. 793–804; see also: Prikl. Mat. Mekh., 1994, vol. 58, no. 5, pp. 37-48.
Markeev, A. P., Stability of Equilibrium States of Hamiltonian Systems: A Method of Investigation, Mech. Solids, 2004, vol. 39, no. 6, pp. 1–8.
Markeev, A. P., On a Multiple Resonance in Linear Hamiltonian Systems, Dokl. Phys., 2005, vol. 50, no. 5, pp. 278–282; see also: Dokl. Akad. Nauk, 2005, vol. 402, no. 3, pp. 339-343.
Markeyev, A. P., Multiple Parametric Resonance in Hamiltonian Systems, J. Appl. Math. Mech., 2006, vol. 70, no. 2, pp. 176–194; see also: Prikl. Mat. Mekh., 2006, vol. 70, no. 2, pp. 200-220.
Markeev, A. P., On the Birkhoff Transformation in the Case of Complete Degeneracy of Quadratic Part of the Hamiltonian, Regul. Chaotic Dyn., 2015, vol. 20, no. 3, pp. 309–316.
Kholostova, O. V., Non-Linear Oscillations of a Hamiltonian System with One Degree of Freedom and Fourth-Order Resonance, J. Appl. Math. Mech., 1998, vol. 62, no. 6, pp. 883–892; see also: Prikl. Mat. Mekh., 1998, vol. 62, no. 6, pp. 957-967.
Kholostova, O. V., The Periodic Motions of a Non-Autonomous Hamiltonian System with Two Degrees of Freedom at Parametric Resonance of the Fundamental Type, J. Appl. Math. Mech., 2002, vol. 66, no. 4, pp. 529–538; see also: Prikl. Mat. Mekh., 2002, vol. 66, no. 4, pp. 540-551.
Kholostova, O. V., Resonant Periodic Motions of Hamiltonian Systems with One Degree of Freedom When the Hamiltonian Is Degenerate, J. Appl. Math. Mech., 2006, vol. 70, no. 4, pp. 516–526; see also: Prikl. Mat. Mekh., 2006, vol. 70, no. 4, pp. 568-580.
Bardin, B. and Lanchares, V., On the Stability of Periodic Hamiltonian Systems with One Degree of Freedom in the Case of Degeneracy, Regul. Chaotic Dyn., 2015, vol. 20, no. 6, pp. 627–648.
Bruno, A. D., Normal Form of a Hamiltonian System with a Periodic Perturbation, Comput. Math. Math. Phys., 2020, vol. 60, no. 1, pp. 36–52.
Bruno, A. D., Normalization of a Periodic Hamiltonian System, Program. Comput. Softw., 2020, vol. 46, no. 2, pp. 76–83.
Kandrup, H. E. and Drury, J., Chaos in Cosmological Hamiltonians, Ann. N. Y. Acad. Sci., 1998, vol. 867, no. 1, pp. 306–320.
Kandrup, H. E., Vass, I. M., and Sideris, I. V., Transient Chaos and Resonant Phase Mixing in Violent Relaxation, Mon. Not. R. Astron. Soc., 2003, vol. 341, no. 3, pp. 927–936.
Terzić, B. and Kandrup, H. E., Orbital Structure in Oscillating Galactic Potentials, Mon. Not. R. Astron. Soc., 2004, vol. 347, no. 3, pp. 957–967.
Efthymiopoulos, C. and Contopoulos, G., Chaos in Bohmian Quantum Mechanics, J. Phys. A, 2006, vol. 39, no. 8, pp. 1819–1852.
McLachlan, N. W., Theory and Application of Mathieu Functions, Oxford: Clarendon, 1951.
Richards, J. A., Analysis of Periodically Time-Varying Systems, Berlin: Springer, 1983.
Mathieu, É., Mémoire sur le mouvement vibratoire d’une membrane de forme elliptique, J. Math. Pure Appl., 1868, vol. 13, pp. 137–203.
Leibscher, M. and Schmidt, B., Quantum Dynamics of a Plane Pendulum, Phys. Rev. A, 2009, vol. 80, no. 1, 012510, 16 pp.
Birkandan, T. and Hortaçsu, M., Examples of Heun and Mathieu Functions As Solutions of Wave Equations in Curved Spaces, J. Phys. A, 2007, vol. 40, no. 5, pp. 1105–1116.
Fink, J. K., Physical Chemistry in Depth, Berlin: Springer, 2009.
Ruby, L., Applications of the Mathieu Equation, Am. J. Phys., 1996, vol. 64, no. 1, pp. 39–44.
Contopoulos, G., Resonance Cases and Small Divisors in a Third Integral of Motion: 1, Astronom. J., 1963, vol. 68, pp. 763–779.
Contopoulos, G., Order and Chaos in Dynamical Astronomy, Berlin: Springer, 2002.