Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự phân nhánh Hopf trong sự hiện diện của đối xứng
Tóm tắt
Bằng cách sử dụng các kỹ thuật lý thuyết nhóm, chúng tôi đạt được sự tổng quát của Định lý Phân nhánh Hopf cho các phương trình vi phân có đối xứng, tương tự như một định lý phân nhánh tĩnh của Cicogna. Chúng tôi thảo luận về sự ổn định của các nhánh phân nhánh và chỉ ra cách lý thuyết nhóm có thể thường đơn giản hóa việc tính toán ổn định. Lý thuyết tổng quát được minh họa bằng ba ví dụ chi tiết: O(2) hoạt động trên R², O(n) trên Rⁿ, và O(3) trong bất kỳ đại diện không thể giảm nào trên các hàm cầu.
Từ khóa
#phân nhánh Hopf #phương trình vi phân #lý thuyết nhóm #ổn định #ví dụ chi tiếtTài liệu tham khảo
J. F. Adams [1969] Lectures on Lie Groups. Benjamin, New York.
J. F. G. Auchmuty [1978] Qualitative effects of diffusion in chemical systems, Lectures on Mathematics in the Life Sciences 10, 49–99, Amer. Math. Soc., Providence R.I.
J. F. G. Auchmuty [1979] Bifurcating Waves, Ann. New York Acad. Sci. 316, 263–278.
A. K. Bajaj [1982] Bifurcating periodic solutions in rotationally symmetric systems, SIAM J. Appl. Math. 42, 1078–1098.
G. E. Bredon [1972] Introduction to Compact Transformation Groups, Academic Press, New York.
P. Chossat & G. Iooss [1984] Primary and secondary bifurcation in the Couette-Taylor problem, preprint, Nice.
S.-N. Chow, J. Mallet-Paret & J. Yorke [1978] Global Hopf bifurcation from a multiple eigenvalue, Nonlinear Analysis 2, 753–763.
G. Cicogna [1981] Symmetry breakdown from bifurcation, Lett. Nuovo Cimento 31, 600–602.
E. A. Coddington & N. Levinson [1955] Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York.
L. Dornhoff [1971] Group Representation Theory Part A, Dekker, New York.
T. Erneux & M. Herschkowitz-Kaufman [1977] Rotating waves as asymptotic solutions of a model chemical reaction, J. Chem. Phys. 66, 248–253.
M. Golubitsky [1983] The Bénard Problem, symmetry, and the lattice of isotropy subgroups, in C. P. Bruter et al. (eds.), Bifurcation Theory, Mechanics, and Physics, Reidel, 225–256.
M. Golubitsky & W. F. Langford [1981] Classification and unfoldings of degenerate Hopf bifurcations, J. Diff. Eqn. 41, 375–415.
M. Golubitsky & D. G. Schaeffer [1985] Singularities and Groups in Bifurcation Theory Vol. I, Springer, New York (to appear).
J. Guckenheimer [1984] Multiple bifurcation of codimension two, SIAM J. Math. Anal. 15, 1–49.
J. Guckenheimer & P. Holmes [1983] Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, Appl. Math. Sci. Series 42, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
J. K. Hale [1969] Ordinary Differential Equations, Wiley, New York.
J. K. Hale & A. P. Stokes [1960] Behavior of solutions near integral manifolds, Arch. Rational Mech. Anal. 6, 133–170.
P. R. Halmos [1974] Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff, & Y.-H. Wan [1981] Theory and Applications of Hopf Bifurcation, London Math. Soc. Lecture Notes 41. Cambridge University Press.
E. Ihrig & M. Golubitsky [1984] Pattern selection with O(3) Symmetry, Physica D: Nonlinear Phenomena (to appear).
G. Iooss & D. D. Joseph [1981] Elementary Stability and Bifurcation Theory, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
A. A. Kirillov [1976] Elements of the Theory of Representations, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
J. E. Marsden & M. McCracken [1976] The Hopf bifurcation and its applications, Lecture Notes in Appl. Math. 19, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
L. Michel [1972] Nonlinear group action. Smooth action of compact Lie groups on manifolds, in Statistical Mechanics and Field Theory. R. N. Sen & C. Weil (eds.). Israel University Press, Jerusalem, 133–150.
L. Michel [1980] Symmetry defects and broken symmetry configurations. Hidden Symmetry. Rev. Mod. Phys. 52, No. 3, 617–651.
V. Poénaru [1976] Singularités C ∞ en Présence de Symétrie, Lecture Notes in Math. 510, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
D. Rand [1982] Dynamics and symmetry: predictions for modulated waves in rotating fluids, Arch. Rational Mech. Anal. 79, 1–38.
M. Renardy [1982] Bifurcation from rotating waves, Arch. Rational Mech. Anal. 75, 49–84.
D. Ruelle [1973] Bifurcations in the presence of a symmetry group, Arch. Rational Mech. Anal. 51, 136–152.
D. H. Sattinger [1979] Group Theoretic Methods in Bifurcation Theory, Lecture Notes in Math. 762, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.
D. H. Sattinger [1980] Spontaneous symmetry breaking in bifurcation problems, in Symmetries in Science (eds. B. Gruber & R. S. Millman), Plenum Press, New York, 365–383.
D. H. Sattinger [1983] Branching in the Presence of Symmetry, SIAM, Philadelphia.
D. H. Sattinger [1984] Petit cours dans les méthodes des groupes dans la bifurcation. Cours de Troisième Cycle. Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne. To appear.
S. Schecter [1976] Bifurcations with Symmetry, in The Hopf Bifurcation and its Applications (ed. J. E. Marsden & M. McCracken), Appl. Math. Sciences 19, Springer, New York, 224–249.
G. Schwarz [1975] Smooth functions invariant under the action of a compact Lie group, Topology 14, 63–68.
M. Spivak [1979] Differential Geometry vol. I, Publish or Perish, Berkeley.
F. Takens [1973] Normal forms for certain singularities of Vectorfields, Ann. Inst. Fourier 23, 163–195.
A. L. van der Bauwhede [1980] Local bifurcation and symmetry. Habilitation Thesis. Rijksuniversiteit Gent.
S. A. van Gils [1984] Some studies in dynamical system theory, Ph. D. Thesis, Vrije Universiteit Amsterdam.
J. A. Wolf [1967] Spaces of constant curvature, McGraw-Hill, New York.