Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Đại số Hardy, W*-đối ứng và lý thuyết nội suy
Tóm tắt
Cho một đại số von Neumann M và một W*-đối ứng E trên M, chúng tôi xây dựng một đại số H∞(E) mà chúng tôi gọi là đại số Hardy của E. Khi M = E, H∞(E) là không gian Hardy cổ điển H∞ của các hàm phân tích bị chặn trên đĩa đơn vị. Khi M và E là H∞(E), đại số này là đại số bán nhóm tự do được nghiên cứu bởi Popescu, Davidson và Pitts cùng nhiều tác giả khác. Chúng tôi chỉ ra rằng với bất kỳ đại diện chuẩn trung thành σ của M trên không gian Hilbert H, tồn tại một W*-đối ứng tự nhiên Eσ trên đối kháng σ(M)′, được gọi là σ-đối ngẫu của E, và rằng H∞(E) có thể được hiện thực hóa dưới dạng các hàm (có giá trị trong B(H)) trên khối đơn vị mở ((Eσ)*) trong không gian các phần tử liên hợp với các phần tử trong Eσ. Chúng tôi chứng minh các tương đương của định lý Nevanlinna-Pick trong bối cảnh này và phát hiện ra các khía cạnh khác của lý thuyết ‘‘phân phối trị giá’’ cho các phần tử trong H∞(E). Chúng tôi cũng phân tích ‘‘hành vi biên’’ của các phần tử trong H∞(E) và thu được các tổng quát của phép tính chức năng Sz.-Nagy–Foiaş và phép tính chức năng của Popescu cho các co-nhân hàng tiếp giáp. Đối ứng Eσ có một đối ngẫu mà tự nhiên là đẳng cấu với E và các đối kháng của một số đại diện được gọi là đại diện sinh ra của H∞(E) có thể được coi là các đại diện sinh ra của H∞(Eσ). Đối với các đại diện này, một định lý đối kháng kép đã được chứng minh.
Từ khóa
#đại số Hardy #W*-đối ứng #lý thuyết nội suy #đại số von Neumann #không gian Hilbert #đối kháng #đại diện sinh raTài liệu tham khảo
Anoussis, M.: Interpolating operators in nest algebras. Proc. Amer. Math. Soc. 114, 707–710 (1992)
Anoussis, M., Katsoulis, E.G., Moore, R.L., Trent, T.T.: Interpolation problems for ideals in nest algebras. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 111, 151–160 (1992)
Arias, A., Popescu, G.: Factorization and reflexivity on Fock spaces. Integral Equations Operator Theory 23, 268–286 (1995)
Arias, A., Popescu, G.: Noncommutative interpolation and Poisson transforms. Israel J. Math. 115, 205–234 (2000)
Arveson, W.: Subalgebras of C*-algebras. Acta Math. 123, 141–224 (1969)
Arveson, W.: Interpolation problems in nest algebras. J. Funct. Anal. 20, 208–233 (1975)
Baillet, M., Denizeau, Y., Havet, J.-F.: Indice d’une espérance conditionnelle. Compositio Math. 66, 199–236 (1988)
Ball, J., Gohberg, I.: A commutant lifting theorem for triangular matrices with diverse applications. Integral Equations Operator Theory 8, 205–267 (1985)
Ball, J., Vinnikov, V.: Lax-Phillips scattering and conservative linear systems: A Cuntz-algebra multidimensional setting. Preprint
Bratteli, O., Jorgensen, P.: Wavelets through a Looking Glass. Applied and Numerical Harmonic Analysis, Birkhäuser, Boston, 2002.
Choi, M.-D.: Completely positive linear maps on complex matrices. Linear Algebra Appl. 10, 285–290 (1975)
Davidson, K.: Nest Algebras. Vol. 191 of Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1988
Davidson, K.: Free semigroup algebras: A survey. In: Systems, Approximation, Singular Integral Operators, and Related Topics (Bordeaux, 2000) (Borichev, A.A., Nikolski, N.K., Eds.), pp. 209–240. Vol. 129 of Operator Theory: Advances and Applications, Birkhäuser, Basel, 2001
Davidson, K., Pitts, D.: The algebraic structure of non-commutative analytic Toeplitz algebras. Math. Ann. 311, 275–303 (1998)
Davidson, K., Pitts, D.: Nevanlinna-Pick interpolation for non-commutative analytic Toeplitz algebras. Integral Equations Operator Theory 31, 321–337 (1998)
Davidson, K., Pitts, D.: Invariant subspaces and hyper-reflexivity for free semigroup algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 78, 401–430 (1999)
Davidson, K., Katsoulis, E., Pitts, D.: The structure of free semigroup algebras. J. Reine Angew. Math. 533, 99–125 (2001)
Exel, R.: A new look at the crossed-product of a C*-algebra by an endomorphism. Preprint (arXiv:math.OA/0012084)
Jo, Y.S., Kang, J.H., Moore, R.L., Trent, T.T.: Interpolation in self-adjoint settings. Proc. Amer. Math. Soc. 130, 3269–3281 (2002)
Jones, V., Sunder, V.S.: Introduction to Subfactors. Vol. 234 of London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1997
Katsoulis, E.G.: Remarks on the interpolation and the similarity problem for nest subalgebras of von Neumann algebras. J. Math. Anal. Appl. 190, 755–762 (1995)
Katsoulis, E.G., Moore, R.L., Trent, T.T.: Interpolation in nest algebras and applications to operator corona theorems. J. Operator Theory 29, 115–123 (1993)
Kribs, D., Power, S.: Free semigroupoid algebras. Preprint (arXiv:math.OA/0309394)
Lance, E.C.: Some properties of nest algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 19, 45–68 (1969)
Lance, E.C.: Hilbert C*-Modules: A Toolkit for Operator Algebraists. Vol. 210 in London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, Cambridge, 1994
Muhly, P., Solel, B.: Tensor algebras over C*-correspondences: representations, dilations, and C*-envelopes. J. Funct. Anal. 158, 389–457 (1998)
Muhly, P., Solel, B.: Tensor algebras, induced representations, and the Wold decomposition. Canad. J. Math. 51, 850–880 (1999)
Muhly, P., Solel, B.: On the Morita equivalence of tensor algebras. Proc. London Math. Soc. (3) 81, 113–168 (2000)
Muhly, P., Solel, B.: Quantum Markov processes (correspondences and dilations). Internat. J. Math. 13, 863–906 (2002)
Paschke, W.: Inner product modules over B*-algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 182, 443–468 (1973)
Paulsen, V.: Completely Bounded Maps and Dilations. Vol. 146 in Pitman Research Notes in Mathematics Series, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1986
Popescu, G.: Isometric dilations for infinite sequences of noncommuting operators. Trans. Amer. Math. Soc. 316, 523–536 (1989)
Popescu, G.: von Neumann inequality for Math. Scand. 68, 292–304 (1991)
Popescu, G.: Multi-analytic operators on Fock spaces. Math. Ann. 303, 31–46 (1995)
Popescu, G.: Functional calculus for noncommuting operators. Michigan Math. J. 42, 345–356 (1995)
Popescu, G.: Non-commutative disc algebras and their representations. Proc. Amer. Math. Soc. 124, 2137–2148 (1996)
Popescu, G.: Interpolation problems in several variables. J. Math. Anal. Appl. 227, 227–250 (1998)
Popescu, G.: Poisson transforms on some C*-algebras generated by isometries. J. Funct. Anal. 161, 27–61 (1999)
Popescu, G.: Commutant lifting, tensor algebras, and functional calculus. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 44, 389–406 (2001)
Popescu, G.: Multivariable Nehari problem and interpolation. J. Funct. Anal. 200, 536–581 (2003)
Power, S.C.: An elementary approach to the matricial Nevanlinna-Pick interpolation criterion. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 32, 121–126 (1989)
Rieffel, M.: Induced representations of C*-algebras. Adv. Math. 13, 176–257 (1974)
Rieffel, M.: Morita equivalence for C*-algebras and W*-algebras. J. Pure Appl. Algebra 5, 51–96 (1974)
Rosenblum, M., Rovnyak, J.: Hardy Classes of Operator Theory. Dover Publications, Mineola, NY, 1997
Sarason, D.: Generalized interpolation in H∞. Trans. Amer. Math. Soc. 127 179–203 (1967)
Skeide, M.: Commutants of von Neumann modules, representations of (E) and other topics related to product systems of Hilbert modules. In: Advances in Quantum Dynamics (Price, G., et al., Eds.), pp. 253–262. Vol. 335 of Contemporary Mathematics, American Mathematical Society, Providence, 2003
Skeide, M.: von Neumann modules, intertwiners and self-duality. Preprint, Bangalore, Jul 2003 (arXiv:math.OA/0308230), to appear in J. Operator Theory
Sz.-Nagy, B., Foiaş, C.: Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space. North-Holland, Amsterdam, 1970
Sz.-Nagy, B., Korányi, A.: Relations d’un problème de Nevanlinna et Pick avec la théorie des opérateurs de l’espace hilbertien. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 7, 295–303 (1956)