Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các ước lượng gradient cho một phương trình parabol phi tuyến trên các đa tạp Riemann
Tóm tắt
Gọi M là một đa tạp Riemann hoàn chỉnh không đóng. Chúng tôi xem xét các ước lượng gradient cho các nghiệm dương của phương trình parabol phi tuyến sau đây
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta _{f}u +au\,{\rm log}\, u + bu$$
trên
$${M \times [0, + \infty)}$$
, trong đó a, b là hai hằng số thực, f là một hàm thực mịn trên M và
$${\Delta_f = \Delta - \nabla f \nabla}$$
. Dưới giả thiết rằng tensor Ricci N-Bakry-Emery bị giới hạn từ dưới bởi một hằng số âm, chúng tôi thu được một ước lượng gradient cho các nghiệm dương của phương trình trên. Như một ứng dụng, chúng tôi đưa ra một bất đẳng thức Harnack và một giới hạn dưới Gaussian của hạt nhân nhiệt của phương trình như vậy.
Từ khóa
#Riemannian manifold #nonlinear parabolic equation #gradient estimate #Harnack inequality #Gaussian lower boundTài liệu tham khảo
Aubin T.: Non-Linear Analysis on Manifolds. Springer-Verlag, New York (1982)
Calabi E.: An extension of E. Hopf’s maximum principle with application to Riemannian geometry. Duke Math. J. 25, 45–46 (1957)
A. Chau, L. F. Tam, and C. J. Yu, Pseudolocality for the Ricci flow and applications, arXiv: math/0701153.
Chen L., Chen W.Y.: Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation on complete non-compact Riemannian manifolds. Ann. Glob. Anal. Geom. 35, 397–404 (2009)
Cheng S.Y., Yau S.T.: Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications. Communn. Pure. Appl. Math. 28, 333–354 (1975)
Davies E.B.: Heat kernels and spectral theory. Cambridge University Press, Cambridge (1989)
Hamilton R.S.: A matrix Harnack estimate for the heat equation. Commun. Anal. Geom. 2, 113–126 (1993)
G. Y. Huang, L. Xiao, and L. Chen, Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation on manifolds, preprint.
S. Y. Hsu, Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation under Ricci flow, arXiv:0806.4004.
Ledoux M.: The geometry of Markov diffusion generators Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 9, 305–366 (2000)
Li X.D.: Liouville theorems for symmetric diffusion operators on complete Riemannian manifolds. J. Math. Pures Appl. 84, 1295–1361 (2005)
Ma L.: Gradient estimates for a simple elliptic equation on complete non-compact Riemannian manifolds. J. Funct. Anal. 241, 374–382 (2006)
Ma L., Liu B.Y.: Convex eigenfunction of a drifting Laplacian operator and the fundamental gap. Pacific J. Math. 240, 343–361 (2009)
Ma L., Liu B.Y.: Convexity of the first eigenfunction of the drifting Laplacian operator and its applications. New York J. Math. 14, 393–401 (2008)
Negrin E. R.: Gradient estimates and a Liouville type theorem for the Schrödinger operator. J. Funct. Anal. 127, 198–203 (1995)
G. Perelman, Ricci flow with surgery on three manifolds, arXiv:math/0303109.
Qian Z.M.: A comparison theorem for an elliptic operator. Potential Analysis 8, 137–142 (1998)
Ruan Q.H.: Gradient estimate for Schrödinger operators on manifolds, J. Geom. Phys. 58, 962–966 (2008)
Yang Y.Y.: Gradient estimates for a nonlinear parabolic equation on Riemannian manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. 136, 4095–4102 (2008)