Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Quan điểm tìm kiếm toàn cầu cho tối ưu hóa đa mục tiêu
Tóm tắt
Mở rộng khái niệm tìm kiếm toàn cầu sang tối ưu hóa đa mục tiêu là điều không hề đơn giản, chủ yếu là do hầu như lúc nào cũng phải đối mặt với các cực tiểu Pareto vô hạn và các giá trị tối ưu tương ứng vô hạn. Adopting khung phân tích toàn cầu của Stephen Smale, chúng tôi làm nổi bật các đặc điểm hình học của tập hợp các cực tiểu Pareto và được dẫn đến những khái niệm nhất quán về sự hội tụ toàn cầu. Sau đó, chúng tôi thiết lập một phiên bản đa mục tiêu của một kết quả nổi tiếng bởi Stephens và Baritompa, về sự cần thiết của việc tạo ra các chuỗi mẫu dày đặc khắp mọi nơi, và mô tả một thuật toán hội tụ toàn cầu trong trường hợp biết hằng số Lipschitz của định thức của Jacobian.
Từ khóa
#tối ưu hóa đa mục tiêu #tìm kiếm toàn cầu #cực tiểu Pareto #phân tích toàn cầu #hội tụTài liệu tham khảo
Allgower E.L., Georg K.: Simplicial and continuation methods for approximating fixed points and solutions to systems of equations. SIAM Rev. 22(1), 28–85 (1980)
Allgower E.L., Georg K.: Piecewise linear methods for nonlinear equations and optimization. J. Comput. Appl. Math. 124(1–2), 245–261 (2000)
Allgower E.L., Gnutzmann S.: An algorithm for piecewise linear approximation of implicitly defined two-dimensional surfaces. SIAM J. Numer. Anal. 24(2), 452–469 (1987)
Allgower E.L., Sommese A.J.: Piecewise linear approximation of smooth compact fibers. J. Complex. 18(2), 547–556 (2002)
Arnol′d, V.I.: Singularities of smooth mappings. Russ. Math. Surv. 23(1), 1–43 (1968). http://stacks.iop.org/0036-0279/23/1
Askar, S., Tiwari, A.: Multi-objective optimisation problems: a symbolic algorithm for performance measurement of evolutionary computing techniques. In: Ehrgott M. (ed.) EMO 2009, Lecture Notes in Computer Science, vol. 5467, pp. 169–182. Springer (2009)
Benson H., Sayin S.: Towards finding global representations of the efficient set in multiple objective mathematical programming. Naval Res Logist 44(1), 47–67 (1997)
de Melo W.: On the structure of the Pareto set of generic mappings. Bol. Soc. Brasil. Mat. 7(2), 121–126 (1976)
de Melo W.: Stability and optimization of several functions. Topology 15(1), 1–12 (1976)
Guillemin V., Pollack A.: Differential topology. Prentice-Hall (1974). http://www.ulb.tu-darmstadt.de/tocs/59605480.pdf
Hartikainen M., Miettinen K., Wiecek M.M.: Constructing a pareto front approximation for decision making. Math. Methods Oper. Res. 73(2), 209–234 (2011). doi:10.1007/s00186-010-0343-0
Hillermeier C.: Generalized homotopy approach to multiobjective optimization. J. Optim. Theory Appl. 110(3), 557–583 (2001)
Hillermeier, C.: Nonlinear Multiobjective Optimization. International Series of Numerical Mathematics, vol. 135. Birkhäuser Verlag, Basel (2001). A generalized homotopy approach
Jones D.R.: A taxonomy of global optimization methods based on response surfaces. J. Glob. Optim. 21(4), 345–383 (2001)
Jones D.R., Perttunen C.D., Stuckman B.E.: Lipschitzian optimization without the lipschitz constant. J. Optim. Theory Appl. 79(1), 157–181 (1993)
Jones D.R., Schonlau M., Welch W.J.: Efficient global optimization of expensive black-box functions. J. Glob. Optim. 13(4), 455–492 (1998)
Khompatraporn C., Pintér J.D., Zabinsky Z.B.: Comparative assessment of algorithms and software for global optimization. J. Glob. Optim. 31(4), 613–633 (2005)
Knowles J.: ParEGO: a hybrid algorithm with on-line landscape approximation for expensive multiobjective optimization problems. IEEE Trans. Evol. Comput. 10(1), 50–66 (2006)
Levine, H.: Singularities of differentiable mappings. In: C. Wall (ed.) Proceedings of Liverpool Singularities—Symposium I, Lecture Notes in Mathematics, vol. 192, pp. 1–21. Springer, Berlin (1971). doi:10.1007/BFb0066810
Lovison, A.: Singular continuation: generating piecewise linear approximations to pareto sets via global analysis. SIAM J. Optim. 21(2), 463–490 (2011). doi:10.1137/100784746
Lovison A., Rigoni E.: Adaptive sampling with a Lipschitz criterion for accurate metamodeling. Commun. Appl. Ind. Math. 1(2), 110–126 (2010)
Miettinen, K.: Nonlinear multiobjective optimization. International Series in Operations Research & Management Science, vol. 12. Kluwer, Boston (1999)
Miglierina E., Molho E.: Scalarization and stability in vector optimization. J. Optim. Theory Appl. 114(3), 657–670 (2002)
Miglierina E., Molho E., Rocca M.: Critical points index for vector functions and vector optimization. J. Optim. Theory Appl. 138(3), 479–496 (2008). doi:10.1007/s10957-008-9383-5
Pijavskiĭ, S.A.: An algorithm for finding the absolute minimum of functions. In: Theory of Optimal Solutions (Seminar, Kiev, 1967), No. 2 (Russian), pp. 13–24. Akad. Nauk Ukrain. SSR, Kiev (1967)
Pintér, J.D.: Nonlinear optimization with GAMS/LGO. J. Global Optim. 38(1), 79–101 (2007). doi:10.1007/s10898-006-9084-2
Schütze, O., Dell’Aere, A., Dellnitz, M.: On continuation methods for the numerical treatment of multi-objective optimization problems. In: Branke, J., Deb, K., Miettinen, K., Steuer, R.E. (eds.) Practical Approaches to Multi-Objective Optimization No. 04461 in Dagstuhl Seminar Proceedings. Internationales Begegnungs- und Forschungszentrum für Informatik (IBFI), Schloss Dagstuhl, Germany, Dagstuhl, Germany (2005). http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2005/349
Sergeyev, Y.D.: An information global optimization algorithm with local tuning. SIAM J. Optim. 5(4), 858–870 (1995). doi:10.1137/0805041. http://dx.doi.org/10.1137/0805041
Sergeyev Y.D., Kvasov D.E.: Global search based on efficient diagonal partitions and a set of lipschitz constants. SIAM J. Optim. 16(3), 910–937 (2006)
Shewchuk J.R.: Delaunay refinement algorithms for triangular mesh generation. Comput. Geom. Theory Appl. 22(1–3), 21–74 (2002)
Shubert B.O.: A sequential method seeking the global maximum of a function. SIAM J. Numer. Anal. 9, 379–388 (1972)
Smale S.: What is global analysis?. Am. Math. Month. 76, 4–9 (1969)
Smale, S.: Global analysis and economics. I. Pareto optimum and a generalization of Morse theory. In: Dynamical Systems (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971), pp. 531–544. Academic Press, New York (1973)
Smale, S.: Optimizing several functions. In: Manifolds–Tokyo 1973 (Proc. Internat. Conf., Tokyo, 1973), pp. 69–75. Univ. Tokyo Press, Tokyo (1975)
Stephens, C., Baritompa, W.: Global optimization requires global information. J. Optim. Theory Appl. 96, 575–588 (1998). doi:10.1023/A:1022612511618. http://dx.doi.org/10.1023/A:1022612511618
Strongin R.G., Sergeyev Y.D.: Global optimization: fractal approach and non-redundant parallelism. J. Glob. Optim. 27(1), 25–50 (2003)
Thom, R.: Les singularités des applications différentiables. Ann. Inst. Fourier (1956)
Wan Y.H.: Morse theory for two functions. Topology 14(3), 217–228 (1975)
Wan Y.H.: On local Pareto optima. J. Math. Econ. 2(1), 35–42 (1975)
Whitney, H.: On singularities of mappings of euclidean spaces. I. Mappings of the Plane into the plane. Ann. Math. 62(3), 374–410 (1955). http://www.jstor.org/discover/10.2307/1970070
Zhang, B., Wood, G.R., Baritompa, W.P.: Multidimensional bisection: the performance and the context. J. Glob. Optim. 3(3), 337–358 (1993). doi:10.1007/BF01096775