Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tính ổn định tiệm cận toàn cục cho các bộ dao động có độ damped siêu tuyến tính
Tóm tắt
Một điều kiện cần và đủ được thiết lập cho sự cân bằng của bộ dao động siêu tuyến tính bị tắc nghẽn $$x^{\prime\prime} + a(t)\phi_q(x^{\prime}) + \omega^2x = 0$$ để có thể ổn định tiệm cận toàn cục. Tiêu chí thu được được đánh giá bằng việc liệu tích phân của một nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất $$u^{\prime} + \omega^{q-2}a(t)\phi_q(u) + 1 = 0$$ là hội tụ hay phân kỳ. Bởi vì phương trình vi phân phi tuyến này không thể được giải một cách tổng quát, có thể nói rằng kết quả được trình bày được diễn đạt bởi một điều kiện ngầm. Cũng có các điều kiện đủ rõ ràng và điều kiện cần rõ ràng được đưa ra để đảm bảo rằng sự cân bằng của bộ dao động siêu tuyến tính bị tắc nghẽn là hấp dẫn toàn cầu. Hơn nữa, đã được chứng minh rằng một điều kiện tăng trưởng nhất định của a(t) đảm bảo tính ổn định tiệm cận toàn cầu cho sự cân bằng của bộ dao động siêu tuyến tính bị tắc nghẽn.
Từ khóa
#stability #oscillators #superlinear damping #asymptotic stability #differential equationsTài liệu tham khảo
Artstein, Z., Infante, E.F.: On the asymptotic stability of oscillators with unbounded damping. Quart. Appl. Math. 34, 195–199 (1976/77)
Bacciotti A., Rosier L.: Liapunov Functions and Stability in Control Theory. Springer, Berlin (2005)
Ballieu R.J., Peiffer K.: Attractivity of the origin for the equation \({\ddot{x} + f(t,\dot{x},\ddot{x})|\dot{x}|^{\alpha}\dot{x}\,+\, g(x) = 0}\) . J. Math. Anal. Appl. 65, 321–332 (1978)
Bass D.W., Haddara M.R.: Nonlinear models of ship roll damping. Int. Shipbuild. Prog. 35, 5–24 (1988)
Bass D.W., Haddara M.R.: Roll and sway-roll damping for three small fishing vessels. Int. Shipbuild. Prog. 38, 51–71 (1991)
Brauer, F., Nohel, J.: The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations. W.A. Benjamin, New York (1969); (revised) Dover, New York (1989)
Cardo A., Francescutto A., Nabergoj R.: On damping models in free and forced rolling motion. Ocean Eng. 9, 171–179 (1982)
Cesari, L.: Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. Springer, Berlin (1959); (2nd edn.) Springer, Berlin (1963)
Coppel W.A.: Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations. Heath, Boston (1965)
Dalzell J.F.: A note on the form of ship roll damping. J. Ship Res. 22, 178–185 (1978)
Duc L.H., Ilchmann A., Siegmund S., Taraba P.: On stability of linear time-varying second-order differential equations. Quart. Appl. Math. 64, 137–151 (2006)
Haddara M.R., Bass D.W.: On the form of roll damping moment for small fishing vessels. Ocean Eng. 17, 525–539 (1990)
Halanay A.: Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Lags. Academic Press, New York (1966)
Hale, J.K.: Ordinary Differential Equations. Wiley, New York (1969); (revised) Krieger, Malabar (1980)
Hatvani L.: On the asymptotic stability for a two-dimensional linear nonautonomous differential system. Nonlinear Anal. 25, 991–1002 (1995)
Hatvani L.: Integral conditions on the asymptotic stability for the damped linear oscillator with small damping. Proc. Am. Math. Soc. 124, 415–422 (1996)
Hatvani L., Krisztin T., Totik V.: A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator. J. Differ. Equ. 119, 209–223 (1995)
Hatvani L., Totik V.: Asymptotic stability of the equilibrium of the damped oscillator. Diff. Integr. Equ. 6, 835–848 (1993)
Hinemo, Y.: Prediction of Ship Roll Damping-State of Art (report no. 239). Department of Naval Architecture and Marine Engineering, The University of Michigan, Ann Arbor (1981)
Ignatyev A.O.: Stability of a linear oscillator with variable parameters. Electron. J. Differ. Equ. 1997(17), 1–6 (1997)
Karsai J., Graef J.R.: Attractivity properties of oscillator equations with superlinear damping. Discrete Contin. Dyn. Syst. 2005(suppl.), 497–504 (2005)
Levin J.J., Nohel J.A.: Global asymptotic stability for nonlinear systems of differential equations and application to reactor dynamics. Arch. Ration. Mech. Anal. 5, 194–211 (1960)
Michel A.N., Hou L., Liu D.: Stability dynamical systems: continuous, discontinuous, and discrete systems. Birkhäuser, Boston (2008)
Neves M.A.S., Pérez N.A., Valerio L.: Stability of small fishing vessels in longitudinal waves. Ocean Eng. 26, 1389–1419 (1999)
Pucci P., Serrin J.: Precise damping conditions for global asymptotic stability for nonlinear second order systems. Acta Math. 170, 275–307 (1993)
Pucci P., Serrin J.: Asymptotic stability for intermittently controlled nonlinear oscillators. SIAM J. Math. Anal. 25, 815–835 (1994)
Rouche N., Habets P., Laloy M.: Stability theory by Liapunov’s direct method. In: Applied Mathematical Sciences, vol. 22. Springer, New York (1977)
Smith R.A.: Asymptotic stability of \({x^{\prime\prime} + a(t)x^{\prime} + x = 0}\) . Quart. J. Math. 12, 123–126 (1961)
Sugie J.: Global asymptotic stability for damped half-linear oscillators. Nonlinear Anal. 74, 7151–7167 (2011)
Taylan M.: The effect of nonlinear damping and restoring in ship rolling. Ocean Eng. 27, 921–932 (2000)
Yoshizawa T.: Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions. In: Applied Mathematical Sciences, vol. 14. Springer, New York (1975)