Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Hình học của các mở rộng trung tâm của đại số Lie nilpotent
Tóm tắt
Chúng tôi cung cấp một phương pháp tuần hoàn và đơn điệu để xây dựng và phân loại các đại số Lie nilpotent thông qua các mở rộng trung tâm liên tiếp. Phương pháp này bao gồm việc tính toán đồng cohomology bậc hai $$H^{2}(\mathfrak{g}, \mathbb{K})$$ của một đại số Lie nilpotent có thể mở rộng $$\mathfrak{g}$$, tiếp theo là nghiên cứu hình học của không gian quỹ đạo của hành động của nhóm tự đồng cấu Aut($$\mathfrak{g}$$) trên các không gian Grassmannian có dạng $$\operatorname{Gr}\left(m, H^{2}(\mathfrak{g}, \mathbb{K})\right)$$. Trong trường hợp này, cần phải xem xét cấu trúc đồng cohomology đã được lọc với respect đến các lý thuyết của chuỗi trung tâm thấp hơn: một cocycle định nghĩa một mở rộng trung tâm phải có lọc tối đa. Phương pháp hình học như vậy cho phép chúng tôi phân loại các đại số Lie nilpotent có kích thước nhỏ, cũng như phân loại các đại số Lie được phân loại tự nhiên hẹp. Chúng tôi giới thiệu khái niệm về một mở rộng trung tâm cứng và xây dựng các ví dụ về các mở rộng trung tâm cứng và không cứng.
Từ khóa
#đại số Lie nilpotent #mở rộng trung tâm #cohomology #không gian Grassmannian #phân loại đại sốTài liệu tham khảo
T. Barron, D. Kerner, and M. Tvalavadze, “On varieties of Lie algebras of maximal class,” Can. J. Math. 67(1), 55–89 (2015).
V. M. Buchstaber and S. Terzić, “Topology and geometry of the canonical action of T 4 on the complex Grassmannian G 42 and the complex projective space ℂP 5,” Moscow Math. J. 16(2), 237–273 (2016).
D. Burde and C. Steinhoff, “Classification of orbit closures of 4-dimensional complex Lie algebras,” J. Algebra 214(2), 729–739 (1999).
R. Carles and Y. Diakité, “Sur les variétés d’algèbres de Lie de dimension ≤ 7,” J. Algebra 91(1), 53–63 (1984).
J. Dixmier, “Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes,” Acta Sci. Math. 16, 246–250 (1955).
A. Fialowski, “Classification of graded Lie algebras with two generators,” Moscow Univ. Math. Bull. 38(2), 76–79 (1983) [transl. from Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat., Mekh., No. 2, 62–64 (1983)].
A. Fialowski, “Deformations of Lie algebras,” Math. USSR, Sb. 55(2), 467–473 (1986) [transl. from Mat. Sb. 127 (4), 476–482 (1985)].
A. Fialowski, “An example of formal deformations of Lie algebras,” in Deformation Theory of Algebras and Structures and Applications: NATO Adv. Study Inst., Castelvecchio-Pascoli (Italy), 1986 (Kluwer, Dordrecht, 1988), NATO ASI Ser. C 247, pp. 375–401.
A. Fialowski and M. Penkava, “Deformations of four-dimensional Lie algebras,” Commun. Contemp. Math. 9(1), 41–79 (2007).
A. Fialowski and M. Penkava, “The moduli space of complex 5-dimensional Lie algebras,” J. Algebra 458, 422–444 (2016).
D. B. Fuchs, Cohomology of Infinite-Dimensional Lie Algebras (Nauka, Moscow, 1984; Consultants Bureau, New York, 1986), Contemp. Sov. Math.
L. Yu. Galitski and D. A. Timashev, “On classification of metabelian Lie algebras,” J. Lie Theory 9(1), 125–156 (1999).
M. A. Gauger, “On the classification of metabelian Lie algebras,” Trans. Am. Math. Soc. 179, 293–329 (1973).
J. R. Gómez, A. Jimenéz-Merchán, and Y. Khakimdjanov, “Low-dimensional filiform Lie algebras,” J. Pure Appl. Algebra 130(2), 133–158 (1998).
V. V. Gorbatsevich, “On contractions and degeneracy of finite-dimensional algebras,” Sov. Math. 35(10), 17–24 (1991) [transl. from Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 10, 19–27 (1991)].
V. V. Gorbatsevich, “Some properties of the space of n-dimensional Lie algebras,” Sb. Math. 200(2), 185–213 (2009) [transl. from Mat. Sb. 200 (2), 31–60 (2009)].
M. Goze and E. Remm, “k-Step nilpotent Lie algebras,” Georgian Math. J. 22(2), 219–234 (2015).
F. Grunewald and J. O’Halloran, “Varieties of nilpotent Lie algebras of dimension less than six,” J. Algebra 112(2), 315–325 (1988).
F. Grunewald and J. O’Halloran, “Deformations of Lie algebras,” J. Algebra 162(1), 210–224 (1993).
J. P. Herrera-Granada and P. Tirao, “The Grunewald–O’Halloran conjecture for nilpotent Lie algebras of rank ≥ 1,” Commun. Algebra 44(5), 2180–2192 (2016).
A. A. Kirillov and Yu. A. Neretin, “The variety A n of n-dimensional Lie algebra structures,” in Am. Math. Soc. Translations, Ser. 2 (Am. Math. Soc., Providence, RI, 1987), Vol. 137, pp. 21–30.
L. Manivel, “On the variety of four dimensional Lie algebras,” J. Lie Theory 26(1), 1–10 (2016).
D. V. Millionshchikov, “Filiform ℕ-graded Lie algebras,” Russ. Math. Surv. 57(2), 422–424 (2002) [transl. from Usp. Mat. Nauk 57 (2), 197–198 (2002)].
D. V. Millionshchikov, “Graded filiform Lie algebras and symplectic nilmanifolds,” in Geometry, Topology, and Mathematical Physics: Selected Papers from S. P. Novikov’s Seminar, Moscow, 2002–2003 (Am. Math. Soc., Providence, RI, 2004), AMS Transl., Ser. 2, 212, pp. 259–279.
D. V. Millionshchikov, “Narrow positively graded Lie algebras,” Dokl. Math. 98(3), 626–628 (2018) [transl. from Dokl. Akad. Nauk 483 (5), 492–494 (2018)].
D. V. Millionshchikov, “Naturally graded Lie algebras of slow growth,” Sb. Math. 210(6), 862–909 (2019) [transl. from Mat. Sb. 210 (6), 111–160 (2019)].
V. V. Morozov, “Classification of nilpotent Lie algebras of order six,” Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., No. 4, 161–171 (1958).
Yu. A. Neretin, “An estimate of the number of parameters defining an n-dimensional algebra,” Math. USSR, Izv. 30(2), 283–294 (1988) [transl. from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 51 (2), 306–318 (1987)].
M. Vergne, “Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes. Application à l’etude de la variété des algèbres de Lie nilpotentes,” Bull. Soc. Math. France 98, 81–116 (1970).