Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Định lý Gauss-Bonnet trong không gian Heisenberg sub-Riemann $\mathbb H^{1}$
Tóm tắt
Chúng tôi chứng minh một phiên bản của định lý Gauss-Bonnet trong không gian Heisenberg sub-Riemann $\mathbb H^{1}$. Độ đo sub-Riemann làm cho $\mathbb H^{1}$ trở thành một không gian metric, do đó có một độ đo Hausdorff hình cầu. Sử dụng độ đo này, chúng tôi định nghĩa độ cong Gaussian tại các điểm của một bề mặt S nơi mà phân phối sub-Riemann vuông góc với không gian tiếp tuyến của S. Nếu tất cả các điểm của S có thuộc tính này, chúng tôi chứng minh một công thức Gauss-Bonnet và, đối với các bề mặt hữu hạn (mà về mặt topo là một torus), chúng tôi thu được ${\int }_{S}K=0$.
Từ khóa
Tài liệu tham khảo
Agrachev AA, Boscain U, Sigalotti M. A Gauss-Bonnet-like formula on two-dimensional almost Riemannian manifolds. Discr Contin Dyn Syst 2008;20(4):801–822.
Balogh Z, Tyson JT, Vecchi E. 2016. Sub-Riemannian curvature and a Gauss-Bonnet theorem in the Heisenberg group. arXiv:1604.00180.
Capogna L, Danielli D, Pauls SD, Tyson JT. An introduction to the Heisenberg Group and the sub-Riemannian isoperimetric problem. Basel, Boston: Birkhäuser; 2007.
Danielli D, Garofalo N, Nhieu DM. Sub-Riemannian calculus on hypersurfaces in Carnot groups. Adv Math 2007;215(1):292–378.
Falbel E, Veloso J, Verderesi J. Constant curvature models in sub-riemannian geometry. VIII Sch Differ Geom Mat Contemp 1993;4:119–125.
Gromov M. Carnot-carathéodory spaces seen from within. Progress Math-Boston 1996;144:85–324.
Hicks N-J. Notes on differential geometry: D. Van Nostrand Co., Inc. Interscience Publishers Wiley; 1965.
Montgomery R. A tour of subriemannian geometries, their geodesics, and applications. Providence, R.I: American Mathematical Society; 2002.
Pansu P. Geometrie du groupe d’heisenberg: Ph.D. Thesis, University Paris VII; 1982.
Pansu P. Une inégalité isopérimétrique sur le groupe de Heisenberg. CR Acad Sci Paris Sér I Math 1982;295(2):127–130. http://www.math.u-psud.fr/pansu/CRAS_1982.pdf.