Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phân tích hàm và phép tính ngoài trên các hình học có kích thước hỗn hợp
Tóm tắt
Chúng tôi quan tâm đến các dạng vi phân trên các hình học có kích thước hỗn hợp, theo nghĩa một miền chứa các tập hợp các đa tạp d-kích thước, được cấu trúc theo dạng phân cấp sao cho mỗi đa tạp d-kích thước nằm trong biên của một hoặc nhiều đa tạp có kích thước $$d + 1$$. Trên bất kỳ đa tạp d-kích thước nào, chúng tôi xem xét các toán tử vi phân tiếp tuyến với đa tạp cũng như các toán tử vi phân rời rạc (nhảy) vuông góc với đa tạp. Hành động kết hợp của những toán tử này dẫn đến khái niệm về toán tử vi phân bán rời rạc liên kết các đa tạp có kích thước khác nhau. Chúng tôi gọi các hệ phương trình thu được là hỗn hợp kích thước, điều này đã trở thành một kỹ thuật mô hình phổ biến cho các ứng dụng vật lý bao gồm vật liệu bị nứt và composite. Chúng tôi xác lập các công cụ phân tích trong bối cảnh kích thước hỗn hợp, bao gồm các nội sản phẩm phù hợp, các toán tử vi phân và đồng vi phân, định lý Poincaré và bất đẳng thức Poincaré–Friedrichs. Tài liệu kết thúc bằng cách định nghĩa vấn đề tối thiểu hóa kích thước hỗn hợp tương ứng với Laplace Hodge, và chúng tôi chỉ ra rằng vấn đề tối thiểu hóa này được xác định tốt.
Từ khóa
#hình học hỗn hợp #toán tử vi phân #đa tạp #mô hình hóa #vật liệu composite #tối thiểu hóaTài liệu tham khảo
Adams, R., Fournier, J.: Sobolev Spaces. Elsevier Science, Pure and Applied Mathematics (2003)
Alboin, C., Jaffré, J., Roberts, J.E., Serres, C.: Domain decomposition for flow in porous media with fractures. In: 14th Conference on Domain Decomposition Methods in Sciences and Engineering (1999)
Arnold, D.N., Falk, R.S., Winther, R.: Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications. Acta Numerica 15, 1–155 (2006)
Avci, C.B.: Evaluation of flow leakage through abandoned wells and boreholes. Water Resour. Res. 30(9), 2565–2578 (1994)
Babuska, I., Aziz, A.K.: Survey lectures on the mathematical foundations. In: The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations, Academic Press, New York, pp. 1–359 (1972)
Bear, J.: Hydraulics of Groundwater. McGraw-Hill, New York (1979)
Boffi, D., Brezzi, F., Fortin, M.: Mixed Finite Elements and Applications. Springer, Heidelberg (2013)
Boon, W.M.: Conforming Discretizations of Mixed-Dimensional Partial Differential Equations. Ph.D. Thesis, The University of Bergen (2018)
Boon, W.M., Nordbotten, J.M., Yotov, I.: Robust discretization of flow in fractured porous media. SIAM J. Numer. Anal. 56(4), 2203–2233 (2018)
Bott, R., Tu, L.W.: Differential Forms in Algebraic Topology. Springer, New York (1982)
Braess, D.: Finite Elements: Theory. Fast Solvers and Applications in Solid Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge (2007)
Buffa, A., Costabel, M., Sheen, D.: On traces for H(curl, \(\Omega \)) in Lipschitz domains. J. Math. Anal. Appl 276(2), 845–867 (2002)
Buffa, A.P., Ciarlet, J.: On traces for functional spaces related to Maxwell’s equations. Part 1: an integration by parts formula in Lipschitz polyhedra. Math. Methods Appl. Sci. 24, 9–30 (2001)
Chen, Z., Huan, G., Ma, Y.: Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. SIAM, Philipadia (2006)
Ciarlet, P.G.: Mathematical Elasticity: Theory of Plates, vol. 2. Elsevier, Amsterdam (1997)
Formaggia, L., Fumagalli, A., Scotti, A., Ruffo, P.: A reduced model for Darcy’s problem in networks of fractures. ESAIM: Math Model Numer Anal 48(4), 1089–1116 (2014)
Helmig, R.: Multiphase Flow and Transport Processes in the Subsurface: A Contribution to the Modeling of Hydrosystems. Springer, Berlin (1997)
Hiptmair, R.: Finite elements in computational electromagnetism. Acta Numerica 11, 237–339 (2002)
Jost, J.: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer, Heidelberg (1995)
LeVeque, R.J.: Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhäuser, Boston (1992)
Licht, M.W.: Complexes of discrete distributional differential forms and their homology theory. In: Foundations of Computational Mathematics (2016)
Lindell, I.V.: Differential Forms in Electromagnetics. IEEE Press, Piscataway (2004)
Martin, V., Jaffré, J., Roberts, J.E.: Modeling fractures and barriers as interfaces for flow in porous media. SIAM J Sci Comput 26(5), 1667–1691 (2005)
Melrose, R.B.: A remark on distributions and the de Rham theorem (2011). arXiv preprint arXiv:1105.2597
Mitrea, D., Mitrea, M., Shaw, M.C.: Traces of differential forms on Lipschitz domains, the boundary De Rham complex, and Hodge decompositions. Indiana Univ. Math. J. 57(5), 2061–2095 (2008)
Nordbotten, J.M.: Convergence of a cell-centered finite volume discretization for linear elasticity. SIAM J. Numer. Anal. 53(6), 2605–2625 (2016)
Nordbotten, J.M., Boon, W.M.: Modeling, structure and discretization of mixed-dimensional partial differential equations. In: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XXIV, Lecture Notes in Computational Science and Engineering (2017)
Nordbotten, J.M., Celia, M.A.: Geological Storage of CO\(_2\): Modeling Approaches for Large-scale Simulation. Wiley, New York (2011)
Picard, R.: An elementary proof for a compact imbedding result in generalized electromagnetic theory. Mathematische Z. 187, 151–164 (1984)
Rudin, W.: Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York (2006)
Russell, T.F., Wheeler, M.F.: Finite element and finite difference methods for continuous flows in porous media. In: Ewing, R.E. (ed.) Mathematics of Reservoir Simulation, pp. 35–106. SIAM, Philipadia (1983)
Spivak, M.: Calculus on Manifolds. Addison-Wesley, Reading (1965)
Toselli, A., Widlund, O.: Domain Decomposition Methods: Algorithms and Theory. No. 34 in Springer Series in Computational Mathematics, Springer (2005)
Weil, A.: Sur les théorèmes de de Rham. Commentarii Mathematici Helvetici 26, 119–145 (1952)