Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phân đoạn hóa của Biến đổi Hankel Rời rạc Dựa trên Ma trận Hạt nhân Đối xứng Involutory
Tóm tắt
Bài báo đánh dấu sự xuất hiện của một biến đổi Hankel rời rạc phân số (DFRHT) dựa trên phân rã trị riêng của ma trận hạt nhân đối xứng involutory T của biến đổi Hankel rời rạc (DHT). Ma trận T chỉ có hai giá trị riêng khác biệt vì nó là một ma trận involutory. Các biểu thức rõ ràng đơn giản được phát deriv để tạo ra các ma trận chiếu trực giao trên các không gian trị riêng của T, và các biểu thức được phát deriv cho các kích thước của hai không gian này dựa trên dấu hiệu của ma trận T. Vì biến đổi Hankel (HT) là hồi tiếp tự nhiên, việc thực hiện HT một lần có thể được coi như là một phép quay theo một góc
$$\pi$$
radians trong không gian—mặt phẳng tần số Hankel. Biến đổi Hankel phân số (FRHT) của cấp phân số
$$a$$
tương ứng với một phép quay theo một góc tùy ý
$$\alpha$$
trong đó
$$\alpha = \pi \, a$$
. FRHT được giới thiệu bởi Namias để có các hàm riêng giống như HT, cụ thể là tích của các đa thức Laguerre tổng quát, một hàm Gaussian và một hàm lũy thừa. Các cơ sở trực giao ban đầu được sinh ra cho hai không gian trị riêng của T thông qua phân rã giá trị đặc biệt của các ma trận chiếu trực giao. Để DFRHT gần gũi với đối tác liên tục của nó, tức là FRHT, thì nên được định nghĩa theo các vectơ riêng giống như Laguerre–Gaussian–lũy thừa, tức là, các vectơ riêng càng gần càng tốt với các mẫu của các hàm riêng của FRHT. Một sơ đồ lấy mẫu được đề xuất sao cho một số lượng hữu hạn mẫu của các hàm riêng sẽ đại diện cho hành vi của các hàm đó. Các vectơ riêng trực giao hoàn thiện cuối cùng của ma trận T được tạo ra riêng lẻ cho hai không gian trị riêng bằng cách sử dụng thuật toán procrustes trực giao (OPA) hoặc thuật toán Gram–Schmidt (GSA).
Từ khóa
#biến đổi Hankel #biến đổi Hankel rời rạc phân số #ma trận hạt nhân đối xứng #phân rã trị riêng #không gian trị riêng #vectơ riêngTài liệu tham khảo
G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special Functions (Cambridge University Press, New York, NY, USA, 1999)
L.C. Andrews, Special Functions of Mathematics for Engineers (SPIE Optical Engineering Press, Bellingham, Wash, USA, 1998)
S.E. Azoug, S. Bouguezel, A non-linear preprocessing for opto-digital image encryption using multiple-parameter discrete fractional Fourier transform. Optic. Commun. 359, 85–94 (2016)
N. Baddour, U. Chouinard, Theory and operational rules for the discrete Hankel transform. J. Optic. Soc. Am. A Optic. Image Sci. Vis. 32, 611–622 (2015)
O.M. Baksalary, D.S. Bernstein, G. Trenkler, On the equality between rank and trace of an idempotent matrix. Appl. Math. Comput. 217, 4076–4080 (2010)
C. Candan, M.A. Kutay, H.M. Ozaktas, The discrete fractional Fourier transform. IEEE Trans. Signal Process. 48, 1329–1337 (2000)
A.S. Deif, Advanced Matrix Theory for Scientists and Engineers (Abacus Press, New York, 1991)
B. Deng, J.-B. Luan, S.-Q. Cui, Analysis of parameter estimation using the sampling-type algorithm of discrete fractional Fourier transform. Defence Technol. 10, 321–327 (2014)
P.-P. Ding, C.-W. Qiu, S. Zouhdi, S.P. Yeo, Rigorous derivation and fast solution of spatial-domain Green’s functions for uniaxial anisotropic multilayers using modified fast Hankel transform method. IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 60, 205–217 (2012)
H. Fan, Y. Fan, Fractional Hankel transform gained via non-unitary bosonic operator realization of angular momentum generators. Phys. Lett. A 344, 351–360 (2005)
Z. Fan, K.-F. Lee, Hankel transform domain analysis of dual-frequency stacked circular-disk and annular-ring microstrip antennas. IEEE Trans. Antennas Propag. 39, 867–870 (1991)
S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E. Spence, Linear Algebra (Pearson Education, Upper Saddle River, N.J., 2003)
F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, vol. 1 (Chelsea, New York, N.Y., 1990)
G.H. Golub, C.F. Van Loan, Matrix Computations (Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996)
M.T. Hanna, Direct batch evaluation of optimal orthonormal eigenvectors of the DFT matrix. IEEE Trans. Signal Process. 56, 2138–2143 (2008)
M.T. Hanna, Direct sequential evaluation of optimal orthonormal eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix by constrained optimization. Digital Signal Process. 22, 681–689 (2012)
M. T. Hanna, A discrete fractional Hankel transform based on the eigen decomposition of a symmetric kernel matrix of the discrete Hankel transform. In: 60th IEEE International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS 2017), Boise, MA, USA, 2017, pp 479–482
M.T. Hanna, N.P.A. Seif, W.A.E.M. Ahmed, Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the direct utilization of the orthogonal projection matrices on its eigenspaces. IEEE Trans. Signal Process. 54, 2815–2819 (2006)
M.T. Hanna, N.P.A. Seif, W.A.E.M. Ahmed, Hermite-Gaussian-Like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular value decomposition of its orthogonal projection matrices. IEEE Trans. Circ. Syst. Part I Regular Pap. 51, 2245–2254 (2004)
Y.J. He, A. Cai, J.A. Sun, Real-valued Hankel transform approach to image reconstruction from projections. Electron. Lett. 29, 1750–1752 (1993)
W.E. Higgins, D.C. Munson, A Hankel transform approach to tomographic image reconstruction. IEEE Trans. Med. Imaging 7, 59–72 (1988)
N.J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation (Society For Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 2008)
X. Jiang, H. Qi, Analytical solutions for anomalous transport of volatile pollutants in nonaqueous-phase liquid contaminated soil. Nonlinear Dyn. 62, 895–904 (2010)
X. Jiang, M. Xu, The fractional finite Hankel transform and its applications in fractal space. J. Phys. A: Math. Theor. 42, 1–11 (2009)
H.F. Johnson, An improved method for computing a discrete Hankel transform. Comput. Phys. Commun. 43, 181–202 (1987)
F.H. Kerr, A fractional power theory for Hankel transforms in L2(R+). J. Math. Anal. Appl. 158, 114–123 (1991)
H.J. Kim, A fast algorithm for computing the Hankel transform of order 1. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 37, 1291–1293 (1989)
L. Knockaert, Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection. IEEE Trans. Signal Process. 48, 1695–1701 (2000)
J.-T. Kuo, Vector finite Hankel transform analysis of shielded single and coupled microstrip ring structures. IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 47, 2161–2164 (1999)
N.N. Lebedev, Special Functions and Their Applications (Dover Publications, New York, 1972)
J.L.-W. Li, P.-P. Ding, S. Zouhdi, S.-P. Yeo, An accurate and efficient evaluation of planar multilayered Green’s functions using modified fast Hankel transform method. IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 59, 2798–2807 (2011)
S.-Q. Li, C.H. Chan, L. Tsang, C.-C. Huang, Closed-form spatial electric field Green’s functions of microstrip structures using the fast Hankel transform and the matrix pencil method. IEE Proc. Microwav. Antennas Propag. 147, 161–166 (2000)
Z.R. Mei, J.G. Gu, D.M. Zhao, Propagation characteristics of elegant Laguerre-Gaussian beams in the fractional Hankel transform plane. Optik 119, 223–229 (2008)
C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra (SIAM, Philadelphia, PA, USA, 2000)
V. Namias, The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics. J. Inst. Math. Appl. 25, 241–265 (1980)
V. Namias, Fractionalization of Hankel transforms. J. Inst. Math. Appl. 26, 187–197 (1980)
S.C. Pei, C.C. Tseng, M.H. Yeh, A new discrete fractional Fourier transform based on constrained eigendecomposition of DFT matrix by Largrange multiplier method. IEEE Trans. Circ. Syst. II Anal. Dig. Signal Process. 46, 1240–1245 (1999)
S.C. Pei, M.H. Yeh, C.C. Tseng, Discrete fractional Fourier transform based on orthogonal projections. IEEE Trans. Signal Process. 47, 1335–1348 (1999)
R. Piessens, The Hankel transform, in Transforms and Applications Handbook. ed. by A.D. Poularikas (CRC Press, Boca Raton, Florida, 2010)
B. Santhanam, J.H. McClellan, The discrete rotational Fourier transform. IEEE Trans. Signal Process. 44, 994–998 (1996)
A.M. Shams-Zadeh-Amiri, X. Li, W.-P. Huang, Hankel transform-domain analysis of scattered fields in multilayer planar waveguides and lasers with circular gratings. IEEE J. Quant. Electron. 39, 1086–1098 (2003)
I. Shenberg, A. Macovski, A direct MRJ Hankel transform system using rotating gradients. IEEE Trans. Med. Imag. 5, 121–127 (2007)
G. Strang, Linear Algebra and Its Applications (Thomson Brooks/Cole, Belmont, CA, 2006)
B.W. Suter, Fast Nth-order Hankel transform algorithm. IEEE Trans. Signal Process. 39, 532–536 (1991)
W.F. Trench, Characterization and properties of matrices with k-involutory symmetries. Linear Algebra Appl. 429, 2278–2290 (2008)