Tổng quát hóa phương trình Markov lượng tử theo dạng phân số

Springer Science and Business Media LLC - Tập 158 - Trang 179-195 - 2009
V. E. Tarasov1
1Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia

Tóm tắt

Chúng tôi đề xuất một tổng quát hóa phương trình Markov lượng tử cho các đại lượng quan sát. Trong phương trình tổng quát này, chúng tôi sử dụng siêu toán tử (superoperators) là các lũy thừa phân số của siêu toán tử hoàn toàn phân tán. Chúng tôi chứng minh rằng các siêu toán tử được đề xuất là các sinh ra vô hạn (infinitesimal generators) của các n Polygong dương hoàn toàn và mô tả các tính chất của nhóm bán nhóm này. Chúng tôi giải phương trình Markov lượng tử phân số được đề xuất cho hồi tiếp điều hòa với ma sát tuyến tính. Một lũy thừa phân số của siêu toán tử Markovian có thể coi là một tham số mô tả một thước đo về "sàng lọc" của môi trường đối với hệ lượng tử: ảnh hưởng của môi trường lên hệ là không tồn tại khi α = 0, môi trường ảnh hưởng hoàn toàn đến hệ khi α = 1, và chúng ta có ảnh hưởng môi trường theo quy luật lũy thừa khi 0 < α < 1.

Từ khóa

#Markov lượng tử #siêu toán tử #nhóm bán nhóm #hồi tiếp điều hòa #ma sát tuyến tính

Tài liệu tham khảo

K. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Math. Sci. Eng., Vol. 111), Acad. Press, New York (1974). S. G. Samko, A. A. Kilbas, and O. I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach, New York (1993). B. Ross, “A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus,” in: Fractional Calculus and Its Applications (Lect. Notes Math., Vol. 457, B. Ross, ed.), Springer, Berlin (1975), pp. 1–36. K. Miller and B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, Wiley, New York (1993). I. Podlubny, Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution, and Some of Their Applications (Math. Sci. Eng., Vol. 198), Acad. Press, San Diego (1999). A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, and J. J. Trujillo, Theory and Application of Fractional Differential Equations (North-Holland Math. Stud., Vol. 204), Elsevier, Amsterdam (2006). V. Kiryakova, Generalized Fractional Calculus and Applications (Pitman Research Notes Math., Vol. 301), Longman, Harlow (1993); B. Rubin, Fractional Integrals and Potentials (Pitman Monogr. Surv. Pure Appl. Math., Vol. 82), Longman, Harlow (1996); A. C. McBride, Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized Functions (Res. Notes Math., Vol. 31), Pitman, San Francisco (1979). K. Nishimoto, Fractional Calculus: Integrations and Differentiations of Arbitrary Order, Descartes, Koriyama (1989). G. M. Zaslavsky, Hamiltonian Chaos and Fractional Dynamics, Oxford Univ. Press, Oxford (2005). R. Gorenflo and F. Mainardi, “Fractional calculus: Integral and differential equations of fractional order,” in: Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (CISM Courses and Lect., Vol. 378, A. Carpinteri and F. Mainardi, eds.), Springer, Wien (1997), p. 223–276. B. West, M. Bologna, and P. Grigolini, Physics of Fractal Operators, Springer, New York (2003). R. Hilfer, ed., Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore (2000). G. M. Zaslavsky, Phys. Rep., 371, 461–580 (2002). E. W. Montroll and M. F. Shlesinger, “On the wonderful world of random walks,” in: Nonequilibrium Phenomena II: From Stochastics to Hydrodynamics (Stud. Statist. Mech., Vol. 11, J. Lebowitz and E. Montroll, eds.), North-Holland, Amsterdam (1984), pp. 1–121. R. Metzler and J. Klafter, Phys. Rep., 339, 1–77 (2000). R. Metzler and J. Klafter, J. Phys. A, 37, R161–R208 (2004). V. E. Tarasov, Internat. J. Math., 18, 281–299 (2007). V. E. Tarasov, Phys. Lett. A, 17, 2984–2988 (2008). V. E. Tarasov, J. Phys. A, 38, 5929–5943 (2005). V. E. Tarasov, J. Phys. A, 39, 8409–8425 (2006). A. Kossakowski, Rep. Math. Phys., 3, 247–274 (1972). E. B. Davies, Quantum Theory of Open Systems, Acad. Press, London (1976). R. S. Ingarden and A. Kossakowski, Ann. Phys., 89, 451–485 (1975). V. E. Tarasov, Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems, Elsevier, Amsterdam (2008). K.-E. Hellwing and K. Kraus, Comm. Math. Phys., 11, 214–220 (1969). K.-E. Hellwing and K. Kraus, Comm. Math. Phys., 16, 142–147 (1970). K. Kraus, Ann. Phys., 64, 311–335 (1971). K. Kraus, States, Effects, and Operations: Fundamental Notions of Quantum Theory (Lect. Notes Phys., Vol. 190), Springer, Berlin (1983). B. Schumacher, Phys. Rev. A, 54, 2614–2628 (1996). V. E. Tarasov, J. Phys. A, 35, 5207–5235 (2002). V. E. Tarasov, J. Phys. A, 37, 3241–3257 (2004). L. Accardi, Y. G. Lu, and I. V. Volovich, Quantum Theory and Its Stochastic Limit, Springer, New York (2002). U. Weiss, Quantum Dissipative Systems (Ser. Modern Condensed Matter Phys., Vol. 2), World Scientific, Singapore (1993). V. Gorini, A. Kossakowski, and E. C. G. Sudarshan, J. Math. Phys., 17, 821–825 (1976). V. Gorini, A. Frigerio, M. Verri, A. Kossakowski, and E. C. G. Sudarshan, Rep. Math. Phys., 13, 149–173 (1978). G. Lindblad, Comm. Math. Phys., 48, 119–130 (1976). G. Lindblad, Rep. Math. Phys., 10, 393–406 (1976). A. Sandulescu and H. Scutaru, Ann. Phys., 173, 277–317 (1987). A. Isar, A. Sandulescu, H. Scutaru, E. Stefanescu, and W. Scheid, Internat. J. Mod. Phys. E, 3, 635–714 (1994). A. Isar, A. Sandulescu, and W. Scheid, Internat. J. Mod. Phys. E, 10, 2767–2779 (1996). E. B. Davies, Ann. Inst. H. Poincarè Sec. A, 35, 149–171 (1981). D. A. Lidar, Z. Bihary, and K. B. Whaley, Chem. Phys., 268, 35–53 (2001). H. Nakazato, Y. Hida, K. Yuasa, B. Militello, A. Napoli, and A. Messina, Phys. Rev. A, 74, 062113 (2006). K. Dietz, J. Phys. A, 35, 10573–10590 (2002). V. E. Tarasov, Phys. Rev. E, 66, 056116 (2002). E. B. Davies, Comm. Math. Phys., 19, 83–105 (1970). H. Spohn, Rep. Math. Phys., 10, 189–194 (1976). H. Spohn, Lett. Math. Phys., 2, 33–38 (1977). C. Anastopoulous and J. J. Halliwell, Phys. Rev. D, 51, 6870–6885 (1995). V. E. Tarasov and G. M. Zaslavsky, Phys. A, 368, 399–415 (2006). A. Tofighi and H. N. Pour, Phys. A, 374, 41–45 (2007). A. Tofighi and A. Golestani, Phys. A, 387, 1807–1817 (2008). W. Arveson, Pacific J. Math., 203, 67–77 (2002). R. Alicki and K. Lendi, Quantum Dynamical Semigroups and Applications (Lect. Notes Phys., Vol. 286), Springer, Berlin (1987). E. Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semigroups (Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 31), Amer. Math. Soc., Providence, R. I. (1957). K. Yosida, Functional Analysis (Grundlehren Math. Wiss., Vol. 123), Springer, Berlin (1965). E. B. Davies, Rep. Math. Phys., 11, 169–188 (1977). A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integrals and Series [in Russian] (2nd ed.), Vol. 2, Elementary Functions, Nauka, Moscow (2002); English transl. prev. ed., Gordon and Breach, New York (1986). A. I. Saichev and G. M. Zaslavsky, Chaos, 7, 753–764 (1997). V. E. Tarasov and G. M. Zaslavsky, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 13, 248–258 (2008). V. V. Yanovsky, A. V. Chechkin, D. Schertzer, and A. V. Tur, Phys. A, 282, 13–34 (2000).