Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các sơ đồ khác biệt trung tâm phân đoạn và bộ tiền điều kiện theo băng cho các phương trình khuếch tán phân đoạn phi tuyến theo biến Riesz và bậc biến thiên
Numerical Algorithms - Trang 1-37 - 2023
Tóm tắt
Trong bài báo này, các phương pháp khác biệt bậc cao được đề xuất để giải quyết bài toán giá trị biên ban đầu cho các phương trình khuếch tán phân đoạn theo biến Riesz một và hai chiều với bậc biến thiên. Chúng tôi trước tiên giới thiệu các sơ đồ khác biệt trung tâm phân đoạn (FCD) và các sơ đồ khác biệt trung tâm phân đoạn có trọng số và dịch chuyển (WSFCD) cho các đạo hàm phân đoạn theo biến Riesz. Sau đó, chúng tôi áp dụng sơ đồ Crank-Nicolson (CN) và sơ đồ khác biệt bảo toàn tuyến tính ngụy biện (LIC) để phân chia phần đạo hàm theo thời gian cho các bài toán tuyến tính và phi tuyến, tương ứng. Do đó, chúng tôi thu được các sơ đồ CN-FCD và CN-WSFCD, cũng như các sơ đồ LIC-FCD và LIC-WSFCD, tương ứng. Kết quả lý thuyết về tính ổn định và hội tụ cho các sơ đồ đã đề cập ở trên được trình bày và chứng minh. Các bộ tiền điều kiện theo băng được giới thiệu để tăng tốc độ các phương pháp GMRES nhằm giải quyết các hệ phương trình tuyến tính đã phân chia. Tính chất quang phổ của ma trận đã được tiền điều kiện được phân tích. Kết quả số học cho thấy rằng các sơ đồ và bộ tiền điều kiện được đề xuất rất hiệu quả.
Từ khóa
#phương trình khuếch tán phân đoạn #khác biệt trung tâm phân đoạn #bộ tiền điều kiện #phương pháp GMRES #tính ổn định và hội tụTài liệu tham khảo
Abirami, A., Prakash, P., Ma, Y.K.: Variable-order fractional diffusion model-based medical image denoising. Math. Probl. Eng. 2021, 1–10 (2021)
Axelsson, O., Kolotilina, L.: Montonicity and discretization error eatimates. SIAM J. Numer. Anal. 27, 1591–1611 (1990)
Bai, J., Feng, X.C.: Fractional-order anisotropic diffusion for image denoising. IEEE Trans. Image Proc. 16, 2492–2502 (2007)
Benson, D.A., Wheatcraft, S.W., Meerschaert, M.M.: Application of a fractional advection-dispersion equation. Water Resour. Res. 36, 1403–1412 (2000)
Benson, D.A., Wheatcraft, S.W., Meerschaert, M.M.: The fractional-order governing equation of Lévy motion. Water Resour. Res. 36, 1413–1423 (2000)
Çelik, C., Duman, M.: Crank-Nicolson method for the fractional diffusion equation with the Riesz fractional derivative. J. Comput. Phys. 231, 1743–1750 (2012)
Ding, H.F., Li, C.P., Chen, Y.Q.: High-order algorithms for Riesz derivative and their applications (I). Abstr. Appl. Anal. 2014, 653797 (2014). https://doi.org/10.1155/2014/653797
Donatelli, M., Mazza, M., Serra-Capizzano, S.: Spectral analysis and structure preserving preconditioners for fractional diffusion equations. J. Comput. Phys. 307, 262–279 (2016)
Du, R., Alikhanov, A.A., Sun, Z.Z.: Temporal second order difference schemes for the multi-dimensional variable-order time fractional sub-diffusion equations. Comput. Math. Appl. 79, 2952–2972 (2020)
Feller, W.: On a generalization of Marcel Riesz’ potentials and the semi-groups generated by them. Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. 1952, 72–81 (1952)
Garrappa, R., Giusti, A., Mainardi, F.: Variable-order fractional calculus: a change of perspective. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 102, 105904 (2021). https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2021.105904
Gu, X.M., Zhao, Y.L., Zhao, X.L., Carpentieri, B., Huang, Y.Y.: A note on parallel preconditioning for the all-at-once solution of Riesz fractional diffusion equations. Numer. Math. Theor. Meth. Appl. 14, 893–919 (2021)
Guo, L., Zhao, X.L., Gu, X.M., Zhao, Y.L., Zheng, Y.B., Huang, T.Z.: Three-dimensional fractional total variation regularized tensor optimized model for image deblurring. Appl. Math. Comput. 404, 126224 (2021). https://doi.org/10.1016/j.amc.2021.126224
Henry, B.I., Wearne, S.L.: Fractional reaction-diffusion. Physica A 276, 448–455 (2000)
Horn, R.A., Johnson, C.R.: Toptics in Matrix Analysis. Academic Press, Cambridge (1994)
Lin, F.R., Liu, W.D.: The accuracy and stability of CN-WSGD schemes for space fractional diffusion equation. J. Comput. Appl. Math. 363, 7–91 (2020)
Lin, R., Liu, F., Anh, V., Turner, I.: Stability and convergence of a new explicit finite-difference approximation for the variable-order nonlinear fractional diffusion equation. Appl. Math. Comput. 212, 435–445 (2009)
Lin, F.R., Qiu, Y.F., She, Z.H.: IRK-WSGD methods for space fractional diffusion equations. Appl. Numer. Math. 164, 222–244 (2021)
Lin, F.R., Qu, H.D., She, Z.H.: DNT preconditioner for one-sided space fractional diffusion equations. BIT 61, 1311–1335 (2021)
Lin, F.R., Wang, Q.Y., Jin, X.Q.: Crank-Nicolson-weighted-shifted-Grünwald difference schemes for space Riesz variable-order fractional diffusion equations. Numer. Algor. 87, 601–631 (2021)
Lin, F.R., Yang, S.W., Jin, X.Q.: Preconditioned iterative methods for fractional diffusion equation. J. Comput. Phys. 256, 109–117 (2014)
Lorenzo, C.F., Hartley, T.T.: Variable-order and distributed order fractional operators. Nonlinear Dyn. 29, 57–98 (2002)
Miller, K.S., Ross, B.: An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. John Wiley, New York (1993)
Oldham, K.B., Spanier, J.: The Fractional Calculus. Academic Press, New York (1974)
Ortigueira, M.D.: Riesz potential operators and inverses via fractional centred derivatives. Int. J. Math. Math. Sci. 2006, 1–12 (2006)
Pang, H.K., Sun, H.W.: A fast algorithm for the variable-order spatial fractional advection-diffusion equation. J. Sci. Comput. 87, 15 (2021). https://doi.org/10.1007/s10915-021-01427-w
Podlubny, I.: Fractional Differential Equations. Cambridge University Press, New York (1999)
Ruiz-Medina, M.D., Anh, V., Angulo, J.M.: Fractional generalized random fields of variable order. Stochastic Anal. Appl. 22, 775–799 (2004)
Samko, S.G., Kilbas, A.A., Marichev, O.I.: Fractional Integerals and Derivatives: Theory and Applications. Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam (1993)
Samko, S.G., Ross, B.: Integration and differentiation to a variable fractional order. Integral Transform Spec. Funct. 1, 277–300 (1993)
Seki, K., Wojcik, M., Tachiya, M.: Fractional reaction-diffusion equation. J. Chem. Phys. 119, 2165–2174 (2003)
She, Z.H.: A class of unconditioned stable 4-point WSGD schemes and fast iteration methods for space fractional diffusion equations. J. Sci. Comput. 92, 18 (2022). https://doi.org/10.1007/s10915-022-01860-5
She, Z.H., Lao, C.X., Yang, H., Lin, F.R.: Banded preconditioners for Riesz space fractional diffusion equations. J. Sci. Comput. 86, 31 (2021). https://doi.org/10.1007/s10915-020-01398-4
She, Z.H., Qu, H.D., Liu, H.: Stability and convergence of finite difference method for two-sided space-fractional diffusion equations. Comput. Math. Appl. 89, 78–86 (2021)
Sokolov, I.M., Klafter, J., Blumen, A.: Fractional kinetics. Phys. Today 55, 48–54 (2002)
Tian, W., Zhou, H., Deng, W.: A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations. Math. Comput. 84, 1703–1727 (2015)
Wang, D.L., Xiao, A.G., Yang, W.: Maximum-norm error analysis of a difference scheme for the space fractional CNLS. Appl. Math. Comput. 257, 241–251 (2015)
Zeng, F.H., Zhang, Z.Q., Karniadakis, G.E.: A generalized spectral collocation method with tunable accuracy for variable-order fractional differential equations. SIAM J. Sci. Comput. 37, A2710–A2732 (2015)
Zhao, X., Sun, Z.Z., Karniadakis, G.E.: Second-order approximations for variable order fractional derivatives: Algorithms and applications. J. Comput. Phys. 293, 184–200 (2015)
Zhao, Y.L., Zhu, P.Y., Gu, X.M., Zhao, X.L., Jian, H.Y.: A preconditioning technique for all-at-once system from the nonlinear tempered fractional diffusion equation. J. Sci. Comput. 83, 10 (2020). https://doi.org/10.1007/s10915-020-01193-1
Zhuang, P., Liu, F., Anh, V., Turner, I.: Numerical methods for the variable-order fractional advection-diffusion equation with a nonlinear source term. SIAM J. Numer. Anal. 47, 1760–1781 (2009)