Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương pháp sai phân chặt chẽ bậc bốn với bước thời gian cho các phương trình Schrödinger phi tuyến liên kết không gian phân số nhiều chiều
Tóm tắt
Trong công trình này, một phương pháp sai phân chặt chẽ bậc bốn hiệu quả được đề xuất để giải số các phương trình Schrödinger phi tuyến liên kết không gian phân số nhiều chiều. Một số phương pháp số hiện có cho các phương trình này dẫn đến ma trận đầy và dày đặc do tính không địa phương của toán tử phân số. Để khắc phục thách thức này, việc phân discret hóa không gian trong phương pháp của chúng tôi được thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp sai phân chặt chẽ và kỹ thuật chuyển ma trận trong đó các phép toán dựa trên FFT có thể được sử dụng. Điều này tránh việc lưu trữ ma trận lớn từ việc phân discret hóa toán tử phân số và cũng giảm thiểu đáng kể chi phí tính toán. Biểu tượng khuếch đại của phương pháp này được nghiên cứu bằng cách vẽ các vùng ổn định của nó, cho thấy tính ổn định của phương pháp. Các thí nghiệm số cho thấy phương pháp này bảo tồn các định luật bảo toàn khối lượng và năng lượng, đồng thời đạt được độ chính xác bậc bốn cả trong không gian và thời gian.
Từ khóa
#Phương pháp sai phân #phương trình Schrödinger phi tuyến #phân số không gian #phương pháp số #ổn định.Tài liệu tham khảo
Amore, P., Fernández, F.M., Hofmann, C.P., Sáenz, R.A.: Collocation method for fractional quantum mechanics. J. Math. Phys. 51(12), 122101 (2010)
Beylkin, G., Keiser, J.M., Vozovoi, L.: A new class of time discretization schemes for the solution of nonlinear PDEs. J. Comput. Phys. 147(2), 362–387 (1998)
Bhatt, H., Khaliq, A., Furati, K.: Efficient High-Order Compact Exponential Time Differencing Method for Space-Fractional Reaction–Diffusion Systems with Nonhomogeneous Boundary Conditions. Numerical Algorithms, pp. 1–25. Springer, New York (2019)
Bhatt, H.P., Khaliq, A.Q.M.: Fourth-order compact schemes for the numerical simulation of coupled Burgers’ equation. Comput. Phys. Commun. 200, 117–138 (2016)
Cox, S.M., Matthews, P.C.: Exponential time differencing for stiff systems. J. Comput. Phys. 176(2), 430–455 (2002)
Demengel, F., Demengel, G., Erné, R.: Functional Spaces for the Theory of Elliptic Partial Differential Equations. Springer, London (2012)
Ding, H.-F., Zhang, Y.-X.: New numerical methods for the Riesz space fractional partial differential equations. Comput. Math. Appl. 63(7), 1135–1146 (2012)
Duan, B., Zheng, Z., Cao, W., et al.: Finite element method for a kind of two-dimensional space-fractional diffusion equation with its implementation. Am. J. Comput. Math. 5(02), 135 (2015)
Duo, S., Wang, H., Zhang, Y.: A comparative study on nonlocal diffusion operators related to the fractional Laplacian. arXiv preprint arXiv:1711.06916 (2017)
Guo, B., Huang, D.: Existence and stability of standing waves for nonlinear fractional Schrödinger equations. J. Math. Phys. 53(8), 083702 (2012)
Guo, B., Huo, Z.: Global well-posedness for the fractional nonlinear Schrödinger equation. Commun. Partial Differ. Equ. 36(2), 247–255 (2010)
Hu, Y., Kallianpur, G.: Schrödinger equations with fractional Laplacians. Appl. Math. Optim. 42(3), 281–290 (2000)
Ilic, M., Liu, F., Turner, I., Anh, V.: Numerical approximation of a fractional-in-space diffusion equation, I. Fract. Calculus Appl. Anal. 8(3), 323–341 (2005)
Ilic, M., Liu, F., Turner, I., Anh, V.: Numerical approximation of a fractional-in-space diffusion equation (II)-with nonhomogeneous boundary conditions. Fract. Calculus Appl. Anal. 9(4), 333–349 (2006)
Ismail, M.: A fourth-order explicit schemes for the coupled nonlinear Schrödinger equation. Appl. Math. Comput. 196(1), 273–284 (2008)
Ismail,M., Taha,T. R.: Parallel methods and higher dimensional NLS equations. In Abstract and Applied Analysis, volume 2013. Hindawi (2013)
Krogstad, S.: Generalized integrating factor methods for stiff PDES. J. Comput. Phys. 203(1), 72–88 (2005)
Laskin, N.: Fractional quantum mechanics. Phys. Rev. E 62(3), 3135 (2000)
Laskin, N.: Fractional quantum mechanics and Lévy path integrals. Phys. Lett. A 268(4–6), 298–305 (2000)
Laskin, N.: Fractional Schrödinger equation. Phys. Rev. E 66(5), 056108 (2002)
Li, M.: A high-order split-step finite difference method for the system of the space fractional CNLS. Eur. Phys. J. Plus 134(5), 244 (2019)
Li, M., Gu, X.-M., Huang, C., Fei, M., Zhang, G.: A fast linearized conservative finite element method for the strongly coupled nonlinear fractional Schrödinger equations. J. Comput. Phys. 358, 256–282 (2018)
Longhi, S.: Fractional Schrödinger equation in optics. Opt. Lett. 40(6), 1117–1120 (2015)
Nørsett, S.P., Wolfbrandt, A.: Attainable order of rational approximations to the exponential function with only real poles. BIT Numer. Math. 17(2), 200–208 (1977)
Secchi, S., Squassina, M.: Soliton dynamics for fractional Schrödinger equations. Appl. Anal. 93(8), 1702–1729 (2014)
Van Loan,C.: Computational frameworks for the fast Fourier transform, volume 10. Siam, (1992)
Wang, D., Xiao, A., Yang, W.: Crank–Nicolson difference scheme for the coupled nonlinear Schrödinger equations with the Riesz space fractional derivative. J. Comput. Phys. 242, 670–681 (2013)
Wang, D., Xiao, A., Yang, W.: A linearly implicit conservative difference scheme for the space fractional coupled nonlinear Schrödinger equations. J. Comput. Phys. 272, 644–655 (2014)
Wang, D., Xiao, A., Yang, W.: Maximum-norm error analysis of a difference scheme for the space fractional CNLS. Appl. Math. Comput. 257, 241–251 (2015)
Wang, P., Huang, C.: An energy conservative difference scheme for the nonlinear fractional Schrödinger equations. J. Comput. Phys. 293, 238–251 (2015)
Wang, P., Huang, C.: Split-step alternating direction implicit difference scheme for the fractional Schrödinger equation in two dimensions. Comput. Math. Appl. 71(5), 1114–1128 (2016)
Yang, Q., Liu, F., Turner, I.: Numerical methods for fractional partial differential equations with Riesz space fractional derivatives. Appl. Math. Model. 34(1), 200–218 (2010)
Yang, Q., Turner, I., Liu, F., Ilić, M.: Novel numerical methods for solving the time-space fractional diffusion equation in two dimensions. SIAM J. Sci. Comput. 33(3), 1159–1180 (2011)
Zhang, G., Huang, C., Li, M.: A mass-energy preserving Galerkin fem for the coupled nonlinear fractional Schrödinger equations. Eur. Phys. J. Plus 133(4), 155 (2018)
Zhao, S., Ovadia, J., Liu, X., Zhang, Y.-T., Nie, Q.: Operator splitting implicit integration factor methods for stiff reaction–diffusion–advection systems. J. Comput. Phys. 230(15), 5996–6009 (2011)
Zhao, X., Sun, Z.-Z., Hao, Z.-P.: A fourth-order compact ADI scheme for two-dimensional nonlinear space fractional Schrodinger equation. SIAM J. Sci. Comput. 36(6), A2865–A2886 (2014)