Folgen gleichgradig integrierbarer Funktionen und die Vertauschbarkeit von Grenz�bergang und Integration

DenArzelaschen Satz und Literaturangaben findet man in der Encyklopädie der math. Wissenschaften Bd. II3, zweite Hälfte, S. 1076?1078. Außer den dort genannten Beweisen sind mir noch bekannt geworden eine Überarbeitung des Beweises vonBieberbach undLandau durchH. S. Carlslaw a. unten in 5) a. O., ferner ein Beweis vonF. Hausdorff (?Beweis eines Satzes vonArzela?. Math. Zeitschr.26, 1927, S. 135?137), der vonW. Rogosinski in seinem Göschen Bändchen ?Fouriersche Reihen? auf S. 119?123 reproduziert wird, und ein sich anArzela's Originalbeweis anlehnender Beweis vonJ. Wolff (?Eenvoudig Bewijs van de stelling vanArzela-Osgood der integralrekening?. Mathematica, Zutphen, B 10, 1941, S. 90?93). Der Beweis vonV. Jarnik in ?asopis57, 1928, S. 103?113 war mir nicht zugänglich.

Vgl. etwaC. Carathéodory, Reelle Funktionen I, Leipzig u. Berlin 1939, S. 180, oder auchCourant-Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik I. 2. Aufl., Berlin 1931, S. 50.

Vgl. zum folgenden etwaV. Mangoldt-Knopp, Einführung in die höhere Mathematik, Bd. III (8. Aufl., Leipzig 1944), S. 222?225.

Vgl. hierzu die Angaben in der Encyklopädie der math. Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Bd. II3, zweite Hälfte, S. 1077.

H. S. Carlslaw, Term-by-Term-Integration of infinite series. Math. Gazette413, (1927), S. 437?441. HerrCarlslaw setzt ausdrücklich voraus, daß die Grenzfunktionf(x) R-integrierbar sein soll. Der folgende Beweis zeigt, daß dies schon aus den übrigen Voraussetzungen folgt, also eine unnötige Voraussetzung ist.

Wegen des Begriffes der gleichmäßigen, bzw. ungleichmäßigen Konvergenz in einem Punkt vgl. die Encyklopädie der math. Wissenschaften Bd. II3, zweite Hälfte, S. 1140?1141.

Ista linker Endpunkt der die Punkte ungleichmäßiger Konvergenz überdeckenden Teilintervalle, so ista 0=b 0=a zu setzen; istb rechter Endpunkt der diese Punkte überdeckenden Teilintervalle, so ista k=bk=b zu setzen.

Die Funktionenfolge {f n(x)} konvergiert aber in keinem Teilintervall von ?0,1? gleichmäßig.