Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sơ đồ sai phân hữu hạn cho các phương trình Schrödinger phi tuyến hai chiều có chu kỳ
Tóm tắt
Phương trình Schrödinger phi tuyến (NLS) trên một hộp định kỳ có thể được rời rạc hóa thành một phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc (DNLS) trên một mạng lập phương định kỳ, đây là một hệ thống các phương trình vi phân thường hữu hạn. Chúng tôi chỉ ra rằng trong hai chiều không gian, các nghiệm của DNLS hội tụ mạnh trong không gian
$$L^2$$
đến các nghiệm của NLS khi kích thước lưới
$$h>0$$
đến gần bằng không. Kết quả này chứng minh tính hiệu quả của phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) cho phương trình NLS định kỳ hai chiều.
Từ khóa
#Phương trình Schrödinger phi tuyến #phương trình vi phân thường #sai phân hữu hạn #hội tụ mạnh #mạng lập phương định kỳ.Tài liệu tham khảo
V. Borovyk and M. Goldberg, The Klein-Gordon equation on\({\mathbb{Z}}^2\)and the quantum harmonic lattice, J. Math. Pures Appl. (9) 107 (2017), no. 6, 667–696.
Á. Bényi and T. Oh, The Sobolev inequality on the torus revisited, Publ. Math. Debrecen 83 (2013), no. 3, 359–374.
J. Bourgain, Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations. I. Schrödinger equations, Geom. Funct. Anal. 3 (1993), no. 2, 107–156.
J. Bourgain, Global solutions of nonlinear Schrödinger equations, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 46, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.
J. Bourgain and C. Demeter, The proof of the\(l^2\)Decoupling Conjecture, Ann. of Math. 182 (2015), 351–389.
N. Burq, P. Gérard, and N. Tzvetkov, Strichartz inequalities and the nonlinear Schrödinger equation on compact manifolds, Amer. J. Math. 126 (2004), no. 3, 569–605.
X. Chen and J. Holmer, The derivation of the\({\mathbb{T}}^3\)energy-critical NLS from quantum many-body dynamics, to appear in Invent. Math.
L. Grafakos, Classical Fourier analysis, third ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2014.
P. Gressman, V. Sohinger, and G. Staffilani, On the uniqueness of solutions to the periodic 3D Gross-Pitaevskii hierarchy. J. Funct. Anal. 266 (2014), no. 7, 4705–4764.
Z. Guo, T. Oh and Y. Wang, Strichartz estimates for Schödinger equations on irrational tori, Proc. London Math. Soc. 109 (2014), 975–1013.
Y. Hong and C. Yang, Uniform Strichartz estimates on the lattice, Discrete Contin. Dyn. Syst. 39 (2019), no.6, 3239–3264.
Y. Hong and C. Yang, Strong Convergence for Discrete Nonlinear Schrödinger equations in the Continuum Limit, SIAM J. Math. Anal. 51 (2019), no.2, 1297–1320.
L. Ignat, Fully discrete schemes for the Schrödinger equation. Dispersive properties, Math. Models Methods Appl. Sci. 17 (2007), no. 4, 567–591.
L. Ignat, On the numerical approximations of the periodic Schrödinger equation, preprint, arXiv:1910.05517 [math.AP]
L. Ignat and E. Zuazua, Dispersive properties of a viscous numerical scheme for the Schrödinger equation, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 340 (2005), no. 7, 529–534.
L. Ignat and E. Zuazua, A two-grid approximation scheme for nonlinear Schrödinger equations: dispersive properties and convergence, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (2005), no. 6, 381–386.
L. Ignat and E. Zuazua, Numerical dispersive schemes for the nonlinear Schrödinger equation, SIAM J. Numer. Anal. 47 (2009), no. 2, 1366–1390.
L. Ignat and E. Zuazua, Convergence rates for dispersive approximation schemes to nonlinear Schrödinger equations, J. Math. Pures Appl. (9) 98 (2012), no. 5, 479–517.
M. Keel and T. Tao, Endpoint Strichartz estimates, Amer. J. Math. 120 (1998), no. 5, 955–980.
K. Kirkpatrick, E. Lenzmann and G. Staffilani, On the continuum limit for discrete NLS with long-range lattice interactions, Comm. Math. Phys. 317 (2013), no. 3, 563–591.
K. Kirkpatrick, B. Schlein and G. Staffilani, Derivation of the two-dimensional nonlinear Schrödinger equation from many body quantum dynamics, Amer. J. Math. 133 (2011), no. 1, 91–130.
P. Schultz, The wave equation on the lattice in two and three dimensions, Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), no. 6, 663–695.
V. Sohinger, A rigorous derivation of the defocusing cubic nonlinear Schrödinger equation on\({\mathbb{T}}^3\)from the dynamics of many-body quantum systems, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 32 (2015), no. 6, 1337–1365.
A. Stefanov and P. G. Kevrekidis, Asymptotic behaviour of small solutions for the discrete nonlinear Schrödinger and Klein-Gordon equations, Nonlinearity 18 (2005), no. 4, 1841–1857.
T. Tao, Multilinear weighted convolution of\(L^2\)functions and applications to nonlinear dispersive equations, Amer. J. Math. 123(5) (2001) 839–908
L. N. Trefethen, “Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations”, unpublished text, available at http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/pdetext.html, 1996.
N. Tzvetkov, Invariant measures for the nonlinear Schrödinger equation on the disc, Dyn. Partial Differ. Equ. 3 (2006), no. 2, 111–160
L. Vega, Restriction theorems and the Schrödinger multiplier on the torus, Partial differential equations with minimal smoothness and applications (Chicago, IL, 1990), IMA Vol. Math. Appl., vol. 42, Springer, New York, 1992, pp. 199–211.
A. Zygmund, On Fourier coefficients and transforms of functions of two variables, Stud. Math. 50 (1974) 189–201.
A. Zygmund, Trigonometric series. Vol. I, II, third ed., Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 2002, With a foreword by Robert A. Fefferman.