Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tốc độ hội tụ của phần tử hữu hạn cho các mô hình nứt peridynamic dựa trên trạng thái
Tóm tắt
Chúng tôi thiết lập tốc độ hội tụ a priori cho các xấp xỉ phần tử hữu hạn của một lớp mô hình nứt phi địa phương phi tuyến. Chúng tôi xem xét các mô hình peridynamic dựa trên trạng thái, trong đó lực tác dụng tại một điểm vật liệu phụ thuộc vào cả biến dạng giữa hai điểm và sự thay đổi thể tích bên trong miền tương tác phi địa phương. Các tương tác theo cặp giữa các điểm được trung gian bởi một tiềm năng liên kết kiểu đa giếng, trong khi các tương tác nhiều điểm được liên kết với sự thay đổi thể tích, được trung gian bởi một tiềm năng biến dạng tĩnh thủy. Tiềm năng tĩnh thủy có thể là một hàm bậc hai, mang lại mối quan hệ lực-biến dạng tuyến tính, hoặc một loại tiềm năng đa giếng có thể liên quan đến sự suy thoái vật liệu và sự thủng. Chúng tôi trước tiên cho thấy tính khả thi tốt của cách biểu diễn peridynamic và rằng các tiến hóa peridynamic tồn tại trong không gian Sobolev $$H^2$$. Chúng tôi chứng minh rằng các xấp xỉ phần tử hữu hạn hội tụ đến các giải pháp $$H^2$$ một cách đồng nhất khi đo trong chuẩn bình phương trung bình. Đối với các phần tử hữu hạn liên tục tuyến tính, tốc độ hội tụ được chứng minh là $$C_t \Delta t + C_s h^2/\epsilon ^2$$, trong đó $$\epsilon $$ là kích thước của chân trời, h là kích thước lưới, và $$\Delta t$$ là kích thước của bước thời gian. Các hằng số $$C_t$$ và $$C_s$$ không phụ thuộc vào $$\Delta t$$ và h và có thể phụ thuộc vào $$\epsilon $$ qua chuẩn của giải pháp chính xác. Chúng tôi chứng minh tính ổn định của xấp xỉ nửa rời rạc. Tính ổn định của xấp xỉ hoàn toàn rời rạc được chứng minh cho lực peridynamic đã được tuyến tính hóa. Chúng tôi trình bày các mô phỏng số với sự lan truyền vết nứt động hỗ trợ cho tốc độ hội tụ lý thuyết.
Từ khóa
#peridynamic models #finite element approximations #nonlinear fracture models #Sobolev space #convergence rateTài liệu tham khảo
Agwai, A., Guven, I., Madenci, E.: Predicting crack propagation with peridynamics: a comparative study. Int. J. Fract. 171(1), 65–78 (2011)
Aksoylu, B., Unlu, Z.: Conditioning analysis of nonlocal integral operators in fractional Sobolev spaces. SIAM J. Numer. Anal. 52, 653–677 (2014)
Bobaru, F., Hu, W.: The meaning, selection, and use of the peridynamic horizon and its relation to crack branching in brittle materials. Int. J. Fract. 176(2), 215–222 (2012)
Bobaru, F., Foster, J.T., Geubelle, P.H., Geubelle, P.H., Silling, S.A.: Handbook of Peridynamic Modeling. CRC, Boca Raton (2016)
Brenner, S., Scott, R.: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, vol. 15, 3rd edn. Springer, Berlin (2007)
Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Théorie et Application. Dunod, Paris (1983)
Chen, X., Gunzburger, M.: Continuous and discontinuous finite element methods for a peridynamics model of mechanics. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 200(9), 1237–1250 (2011)
Demengel, F.: Functional Spaces for the Theory of Elliptic Partial Differential Equations. Universitext, 1st edn. Springer, London (2012)
Du, Q.: An invitation to nonlocal modeling, analysis and computation. In: Proc. Int. Cong. of Math 2018, Rio de Janeiro, vol. 3, pp. 3523–3552 (2018a)
Du, Q.: Nonlocal Modeling, Analysis and Computation. NSF-CBMS Monograph. SIAM, Philadelphia (2018b)
Du, Q., Gunzburger, M., Lehoucq, R., Zhou, K.: Analysis of the volume-constrained peridynamic navier equation of linear elasticity. J. Elast. 113(2), 193–217 (2013a)
Du, Q., Ju, L., Tian, L., Zhou, K.: A posteriori error analysis of finite element method for linear nonlocal diffusion and peridynamic models. Math. Comput. 82(284), 1889–1922 (2013b)
Du, Q., Tian, L., Zhao, X.: A convergent adaptive finite element algorithm for nonlocal diffusion and peridynamic models. SIAM J. Numer. Anal. 51(2), 1211–1234 (2013c)
Emmrich, E., Lehoucq, R.B., Puhst, D.: Peridynamics: a nonlocal continuum theory. Meshfree Methods for Partial Differential Equations VI, pp. 45–65. Springer, Berlin (2013)
Foster, J.T., Silling, S.A., Chen, W.: An energy based failure criterion for use with peridynamic states. Int. J. Multiscale Comput. Eng. 9(6), 675–688 (2011)
Gerstle, W., Sau, N., Silling, S.: Peridynamic modeling of concrete structures. Nuclear Eng. Des. 237(12), 1250–1258 (2007)
Ghajari, M., Iannucci, L., Curtis, P.: A peridynamic material model for the analysis of dynamic crack propagation in orthotropic media. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 276, 431–452 (2014)
Guan, Q., Gunzburger, M.: Stability and accuracy of time-stepping schemes and dispersion relations for a nonlocal wave equation. Numer. Methods Part. Differ. Equ. 31(2), 500–516 (2015)
Ha, Y.D., Bobaru, F.: Studies of dynamic crack propagation and crack branching with peridynamics. Int. J. Fract. 162(1/2), 229–244 (2010)
Jha, P. K., Lipton, R.: Finite element approximation of nonlinear nonlocal models (2017). arXiv preprint arXiv:1710.07661
Jha, P.K., Lipton, R.: Numerical analysis of nonlocal fracture models in Hölder space. SIAM J. Numer. Anal. 56, 906–941 (2018a)
Jha, P.K., Lipton, R.: Numerical convergence of nonlinear nonlocal continuum models to local elastodynamics. Int. J. Numer. Methods Eng. 114(13), 1389–1410 (2018b)
Jha, P. K., Lipton, R.: Small horizon limit of state based peridynamic models. In preparation (2019)
Karaa, S.: Stability and convergence of fully discrete finite element schemes for the acoustic wave equation. J. Appl. Math. Comput. 40(1/2), 659–682 (2012)
Lipton, R.: Dynamic brittle fracture as a small horizon limit of peridynamics. J. Elast. 117, 21–50 (2014)
Lipton, R.: Cohesive dynamics and brittle fracture. J. Elast. 124(2), 143–191 (2016)
Lipton, R., Silling, S., Lehoucq, R.: Complex fracture nucleation and evolution with nonlocal elastodynamics (2016). arXiv preprint arXiv:1602.00247
Lipton, R., Said, E., Jha, P.: Free damage propagation with memory. J. Elast. 133(2), 129–153 (2018a)
Lipton, R., Said, E., Jha, P.K.: Dynamic brittle fracture from nonlocal double-well potentials: a state-based model. In: Handbook of Nonlocal Continuum Mechanics for Materials and Structures, pp. 1–27 (2018b)
Littlewood, D. J.: Simulation of dynamic fracture using peridynamics, finite element modeling, and contact. In: Proceedings of the ASME 2010 International Mechanical Engineering Congress and Exposition (IMECE) (2010)
Macek, R.W., Silling, S.A.: Peridynamics via finite element analysis. Finite Elem. Anal. Des. 43(15), 1169–1178 (2007)
Mengesha, T., Du, Q.: On the variational limit of a class of nonlocal functionals related to peridynamics. Nonlinearity 28(11), 3999 (2015)
Ren, B., Wu, C., Askari, E.: A 3d discontinuous galerkin finite element method with the bond-based peridynamics model for dynamic brittle failure analysis. Int. J. Impact Eng. 99, 14–25 (2017)
Silling, S.A.: Reformulation of elasticity theory for discontinuities and long-range forces. J. Mech. Phys. Solids 48(1), 175–209 (2000)
Silling, S.A., Bobaru, F.: Peridynamic modeling of membranes and fibers. Int. J. Non-Linear Mech. 40(2), 395–409 (2005)
Silling, S.A., Lehoucq, R.B.: Convergence of peridynamics to classical elasticity theory. J. Elast. 93(1), 13–37 (2008)
Silling, S.A., Epton, M., Weckner, O., Xu, J., Askari, E.: Peridynamic states and constitutive modeling. J. Elast. 88(2), 151–184 (2007)
Silling, S., Weckner, O., Askari, E., Bobaru, F.: Crack nucleation in a peridynamic solid. Int. J. Fract. 162(1/2), 219–227 (2010)
Tian, X., Du, Q.: Asymptotically compatible schemes and applications to robust discretization of nonlocal models. SIAM J. Numer. Anal. 52, 1641–1665 (2014)
Weckner, O., Abeyaratne, R.: The effect of long-range forces on the dynamics of a bar. J. Mech. Phys. Solids 53(3), 705–728 (2005)