Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Phương pháp Exponential Almost Runge-Kutta cho các bài toán bán phi tuyến
Tóm tắt
Chúng tôi giới thiệu một lớp mới của các phương pháp Tích phân mũ đa giá trị một bước (One-step, multi-value Exponential Integrator - EI) được gọi là phương pháp Exponential Almost Runge-Kutta (EARK) mà liên quan đến đạo hàm của một hàm phi tuyến của nghiệm. Để xấp xỉ các đạo hàm này với độ chính xác đầy đủ, các phương pháp EARK sẽ được triển khai trong khuôn khổ rộng hơn của các Phương pháp Tuyến tính tổng quát gần đúng mũ (Exponential Almost General Linear Methods - EAGLMs) để tiếp nhận các giá trị trong quá khứ của hàm phi tuyến này và trở nên mang tính nhiều bước như là một hệ quả. Các phương pháp EI đã được thiết lập, chẳng hạn như phương pháp Phân tích Thời gian Mũ (Exponential Time Differencing - ETD), phương pháp Exponential Runge-Kutta (ERK) và Phương pháp Tuyến tính tổng quát mũ (Exponential General Linear Methods - EGLMs) trở thành các trường hợp đặc biệt của EAGLMs. Chúng tôi trình bày các điều kiện bậc mà tạo điều kiện cho việc xây dựng các phương pháp EARK hai và ba bước và, khi được phát biểu dưới định dạng EAGLM, chúng tôi thực hiện phân tích ổn định để so sánh với các phương pháp EI hiện có. Chúng tôi kết thúc bằng một số thí nghiệm số, xác nhận độ hội tụ và cũng chứng minh hiệu quả tính toán của các phương pháp mới này.
Từ khóa
#Exponential Integrator #Exponential Almost Runge-Kutta #EARK #phương pháp số #bồ đề phi tuyến #độ hội tụTài liệu tham khảo
Al-Mohy, A., Higham, N.: Computing the action of the matrix exponential, with an application to exponential integrators. SIAM J. Sci. Comput. 33(2), 488–511 (2011)
Bergamaschi, L., Caliari, M., Martínez, A., Vianello, M.: Comparing Leja and Krylov approximations of large scale matrix exponentials. In: ICCS 2006, Reading (UK), Springer LNCS, vol. 3994, pp. 685–692 (2006)
Bergamaschi, L., Vianello, M.: Efficient computation of the exponential operator for large, sparse, symmetric matrices. Numer. Linear Algebra Appl. 7(1), 27–45 (2000)
Berland, H., Skaflestad, B., Wright, W.: Expint—a Matlab package for exponential integrators. ACM Trans. Math. Softw. 33(1), 1–17 (2007)
Beylkin, G., Keiser, J., Vozovoi, L.: A new class of time discretization schemes for the solution of nonlinear PDEs. J. Comput. Phys. 147(2), 362–387 (1998)
Butcher, J.: On the convergence of numerical solutions to ordinary differential equations. Math. Comput. 20, 1–10 (1966)
Butcher, J.: General linear methods. Comput. Math. Appl. 31(4–5), 105–112 (1996)
Butcher, J.: An introduction to “Almost Runge-Kutta” methods. Appl. Numer. Math. 24(2–3), 331–342 (1997)
Caliari, M., Ostermann, A.: Implementation of exponential Rosenbrock-type integrators. Appl. Numer. Math. 59(3–4), 568–581 (2009)
Calvo, M., Portillo, A.: Variable step implementation of ETD methods for semilinear problems. Appl. Math. Comput. 196(2), 627–637 (2008)
Cox, S., Matthews, P.: Exponential time differencing for stiff systems. J. Comput. Phys. 176(2), 430–455 (2002)
Friesner, R., Tuckerman, L., Dornblaser, B., Russo, T.: A method for exponential propagation of large systems of stiff nonlinear differential equations. J. Sci. Comput. 4(4), 327–354 (1989)
Gallopoulos, E., Saad, Y.: Efficient solution of parabolic equations by Krylov approximation methods. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 13(5), 1236–1264 (1992)
Hairer, E., Wanner, G.: Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems, vol. 2. Springer, Berlin (2002). Second revised edition with 137 figures
Hochbruck, M., Ostermann, A.: Explicit exponential Runge-Kutta methods for semilinear parabolic problems. SIAM J. Numer. Anal. 43(3), 1069–1090 (2005)
Hochbruck, M., Ostermann, A.: Exponential integrators. Acta Numer. 19, 209–286 (2010)
Krogstad, S.: Generalized integrating factor methods for stiff PDEs. J. Comput. Phys. 203(1), 72–88 (2005)
Lu, Y.: Exponentials of symmetric matrices through tridiagonal reductions. Linear Algebra Appl. 279, 317–324 (1998)
Lu, Y.: Computing a matrix function for exponential integrators. J. Comput. Appl. Math. 161(1), 203–216 (2003)
Maset, S., Zennaro, M.: Unconditional stability of explicit exponential Runge-Kutta methods for semi-linear ordinary differential equations. Math. Comput. 78, 957–967 (2009)
Minchev, B.: Exponential integrators for semilinear problems. Ph.D. thesis, Department of Informatics, University of Bergen (2004)
Minchev, B.: Integrating factor methods as exponential integrators. In: Proceedings of the 5th International Conference on Large-Scale Scientific Computing, LSSC’05, pp. 380–386. Springer, Berlin (2006)
Minchev, B.: Wright., W.: A review of exponential integrators for first order semi-linear problems. Tech. rep. 2/05, NTNU (2005)
Moler, C., Loan, C.V.: Nineteen dubious ways to compute the exponential of a matrix, twenty-five years later. SIAM Rev. 45(1), 3–49 (2003)
Niesen, J., Wright, W.M.: A Krylov subspace algorithm for evaluating the phi-functions appearing in exponential integrators. ACM TOMS 38(3), 22 (2012)
O’Callaghan, E.: The analysis and implementation of exponential almost Runge-Kutta methods for semilinear problems. Ph.D. thesis, School of Mathematical Sciences, Dublin City University (2011)
Ostermann, A., Thalhammer, M., Wright, W.: A class of explicit exponential general linear methods. BIT Numer. Math. 46(2), 409–431 (2006)
Schmelzer, T.: Talbot quadratures and rational approximations. BIT Numer. Math. 46, 653–670 (2006)
Schmelzer, T., Trefethen, L.: Evaluating matrix functions for exponential integrators via Carathéodory-Fejér approximations and contour integrals. Electron. Trans. Numer. Anal. 29, 1–18 (2007)