Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Ràng buộc rõ ràng về các tích phân của hàm riêng trên các đường cong trong mặt phẳng có độ cong không dương
Tóm tắt
Gọi (M, g) là một bề mặt Riemann kín với độ cong phần không dương và $$\gamma $$ là một đường geodesic kín trong M. Ngoài ra, $$e_\lambda $$ là một hàm riêng đã được chuẩn hóa $$L^2$$ của toán tử Laplace–Beltrami $$\Delta _g$$ với $$-\Delta _g e_\lambda = \lambda ^2 e_\lambda $$. Sogge và cộng sự (Camb J Math 5(1):123–151, 2017) đã chỉ ra rằng bằng cách sử dụng Định lý Gauss–Bonnet, $$\int _\gamma e_\lambda \, \mathrm{{d}}s = O((\log \lambda )^{-1/2})$$, một cải tiến so với ràng buộc chung O(1). Chúng tôi chứng minh rằng tích phân này có cùng xu hướng suy giảm cho một loạt các đường cong, trong đó M có độ cong phần không dương. Đây là những đường cong $$\gamma $$ mà độ cong geodesic của chúng hạn chế, theo từng điểm, độ cong geodesic của các vòng tròn có bán kính vô hạn tiếp xúc với $$\gamma $$.
Từ khóa
#Hàm riêng #bề mặt Riemann #độ cong không dương #tích phân #độ cong geodesicTài liệu tham khảo
Bérard, P.H.: On the wave equation on a compact Riemannian manifold without conjugate points. Math. Z. 155(3), 249–276 (1977)
Burq, N., Gérard, P., Tzvetkov, N.: Restrictions of the Laplace–Beltrami eigenfunctions to submanifolds. Duke Math. J. 138(3), 445–486 (2007)
Canzani, Y., Galkowski, J., Toth, J.A.: Averages of eigenfunctions over hypersurfaces. Commun. Math. Phys. 360, 619–637 (2018)
Chen, X., Sogge, C.D.: On integrals of eigenfunctions over geodesics. Proc. Am. Math. Soc. 143(1), 151–161 (2015)
do Carmo, M.P.: Riemannian Geometry. Birkhäuser Boston Inc., Boston (1992)
Good, A.: Local Analysis of Selberg’s Trace Formula. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1040. Springer, Berlin (1983)
Hejhal, D.A.: Sur certaines séries de Dirichlet associées aux géodésiques fermées d’une surface de Riemann compacte. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 294(8), 273–276 (1982)
Helgason, S.: Geometric Analysis on Symmetric Spaces. Amer. Math. Soc, Providence, RI (2014)
Reznikov, A.: A uniform bound for geodesic periods of eigenfunctions on hyperbolic surfaces. Forum Math. 27(3), 1569–1590 (2015)
Sogge, C.D.: Hangzhou Lectures on Eigenfunctions of the Laplacian. Annals of Mathematics Studies, vol. 188. Princeton University Press, Princeton, NJ (2014)
Sogge, C.D.: Fourier Integrals in Classical Analysis Volume 210 of Cambridge Tracts in Mathematics, 2nd edn. Cambridge University Press, Cambridge (2017)
Sogge, C.D., Zelditch, S.: Riemannian manifolds with maximal eigenfunction growth. Duke Math. J. 114(3), 387–437 (2002)
Sogge, C.D., Xi, Y., Zhang, C.: Geodesic period integrals of eigenfunctions on Riemannian surfaces and the Gauss–Bonnet theorem. Camb. J. Math. 5(1), 123–151 (2017)
Wyman, E.: Integrals of eigenfunctions over curves in surfaces of nonpositive curvature. (2017) (preprint)
Zelditch, S.: Kuznecov sum formulae and Szegő limit formulae on manifolds. Commun. Partial Differ. Equ. 17(1–2), 221–260 (1992)