Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Kết quả tồn tại cho bài toán biên liên quan đến các phương trình phi tuyến mạnh và kỳ dị
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét một phương trình vi phân không tuyến tính mạnh thuộc loại tổng quát sau đây:
$$\begin{aligned} (\Phi (a(t,x(t)) \, x'(t)))'= f(t,x(t),x'(t)), \quad \text {a.e. trên }[0,T], \end{aligned}$$
Trong đó, f là một hàm Carathédory,
$$\Phi $$
là một phép biến đổi đồng khả vị tăng cường (toán tử
$$\Phi $$
-Laplace), và hàm a là liên tục và không âm. Chúng tôi giả định rằng a(t, x) bị giới hạn từ dưới bởi một hàm không âm h(t), độc lập với x và sao cho
$$1/h \in L^p(0,T)$$
cho một số
$$p> 1$$
, và chúng tôi yêu cầu một điều kiện tăng trưởng yếu kiểu Wintner–Nagumo. Dưới những giả định này, chúng tôi chứng minh các kết quả tồn tại cho bài toán Dirichlet liên quan đến phương trình trên, cũng như cho các điều kiện biên khác nhau. Phương pháp của chúng tôi kết hợp các kỹ thuật điểm cố định và phương pháp giải pháp trên/dưới.
Từ khóa
#phương trình vi phân phi tuyến #hàm Carathédory #phương trình Dirichlet #điều kiện biên #phương pháp điểm cố địnhTài liệu tham khảo
Bereanu, C., Mawhin, J.: Periodic solutions of nonlinear perturbations of \(\Phi \)-Laplacians with possibly bounded \(\Phi \). Nonlinear Anal. TMA 68, 1668–1681 (2008)
Brezis, H.: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer Science and Business Media, New York (2010)
Cabada, A., Pouso, R.L.: Existence results for the problem \((\phi (u^\prime ))^\prime =f(t, u, u^\prime )\) with periodic and Neumann boundary conditions. Nonlinear Anal. TMA 30, 1733–1742 (1997)
Cabada, A., Pouso, R.L.: Existence results for the problem \((\phi (u^\prime ))^\prime =f(t, u, u^\prime )\) with nonlinear boundary conditions. Nonlinear Anal. TMA 35, 221–231 (1999)
Cabada, A., O’Regan, D., Pouso, R.L.: Second order problems with functional conditions including Sturm–Liouville and multipoint conditions. Math. Nachr. 281, 1254–1263 (2008)
Calamai, A.: Heteroclinic solutions of boundary value problems on the real line involving singular \(\Phi \)-Laplacian operators. J. Math. Anal. Appl. 378, 667–679 (2011)
Calamai, A., Marcelli, C., Papalini, F.: Boundary value problems for singular second order equations. Fixed Point Theory Appl. 2018, Paper No. 20
Cupini, G., Marcelli, C., Papalini, F.: Heteroclinic solutions of boundary-value problems on the real line involving general nonlinear differential operators. Differ. Int. Equ. 24, 619–644 (2011)
El Khattabi, N., Frigon, M., Ayyadi, N.: Multiple solutions of boundary value problems with \(\phi \)-Laplacian operators and under a Wintner–Nagumo growth condition. Bound. Value Probl. 2013, 236, 21 (2013)
Ferracuti, L., Papalini, F.: Boundary value problems for strongly nonlinear multivalued equations involving different \(\Phi \)-Laplacians. Adv. Differ. Equ. 14, 541–566 (2009)
Liu, Y.: Multiple positive solutions to mixed boundary value problems for singular ordinary differential equations on the whole line. Nonlinear Anal. Model. Control 17, 460–480 (2012)
Liu, Y., Yang, P.: Existence and non-existence of positive solutions of BVPs for singular ODEs on whole lines. Kyungpook Math. J. 55, 997–1030 (2015)
Marcelli, C.: Existence of solutions to boundary-value problems governed by general non-autonomous nonlinear differential operators. Electron. J. Differ. Equ. 171 (2012)
Marcelli, C.: The role of boundary data on the solvability of some equations involving non-autonomous nonlinear differential operators. Bound. Value Probl. 252 (2013)
Marcelli, C., Papalini, F.: Boundary value problems for strongly nonlinear equations under a Wintner–Nagumo growth condition. Bound. Value Probl. 2017 Paper No. 183 (2017)