Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Sự tồn tại của các mặt cầu nhúng tối thiểu các chức năng cong trong các đa tạp 3 chiều hữu hạn
Tóm tắt
Chúng tôi nghiên cứu các chức năng cong cho các mặt cầu 2 nhúng trong một đa tạp Riemanniana ba chiều compact $$M$$. Dưới giả thiết rằng độ cong mặt cắt $$K^M$$ là dương tuyệt đối, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một sự nhúng mượt mà $$f:{\mathbb {S}}^2 \rightarrow M$$ tối thiểu hóa tích phân $$L^2$$ của dạng cơ bản thứ hai. Nếu thay vào đó giả định rằng $$K^M \le 2$$ và tồn tại một điểm $$\overline{x} \in M$$ với độ cong vô hướng $$R^M(\overline{x}) > 6$$, chúng tôi thu được một tối thiểu mượt mà $$f:{\mathbb {S}}^2 \rightarrow M$$ cho chức năng $$\int \frac{1}{4}|H|^2+1$$, trong đó $$H$$ là độ cong trung bình.
Từ khóa
#mặt cầu nhúng #đa tạp Riemanniana #độ cong mặt cắt #độ cong vô hướng #dạng cơ bảnTài liệu tham khảo
Breuning, P.: Immersions with local Lipschitz representation, Ph. D. Thesis, Freiburg (2011)
Daniel, B.: Isometric immersions into 3-dimensional homogeneous manifolds. Comment. Math. Helv. 82, 87–131 (2007)
Gilbarg, D., Trudinger, N.S.: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer, Berlin (2001)
Hutchinson, J.E.: Second fundamental form for varifolds and the existence of surfaces minimizing curvature. Indiana Math. J. 35(1), 45–71 (1986)
Kuwert, E., Schätzle, R.: Closed surfaces with bounds on their Willmore energy. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 11(5), 605–634 (2012)
Lamm, T., Metzger, J.: Small surfaces of Willmore type in Riemannian manifolds. Int. Math. Res. Notices IMRN 19, 3786–3813 (2010)
Lamm, T., Metzger, J., Schulze, F.: Foliations of asymptotically flat manifolds by surfaces of Willmore type. Math. Ann. 350, 1–78 (2011)
Langer, J.: A compactness theorem for surfaces with \(L^p\)-bounded second fundamental form. Math. Ann. 270, 223–234 (1985)
Mondino, A.: Some results about the existence of critical points for the Willmore functional. Math. Zeit. 266(3), 583–622 (2010)
Mondino, A.: The conformal Willmore functional: a perturbative approach. J. Geom. Anal., 1–48 (2011, online first)
Mondino, A.: Existence of integral \(m\)-varifolds minimizing \(\int |A|^p\) and \(\int |H|^p, p > m\), in Riemannian manifolds [arXiv:1010.4514] (2010, submitted)
Morrey, C.B.: Multiple Integrals in the Calculus of Variations. Springer, New York (1966)
Rivière, T.: Variational principles for immersed surfaces with \(L^2\)-bounded second fundamental form [arXiv:1007.2997] (2010)
Schygulla, J.: Willmore minimizers with prescribed isoperimetric ratio. Archiv. Ration. Mech. Anal. 203, 901–941 (2011)
Simon, L.: Existence of Willmore surfaces, Miniconf. on Geom. and P.D.E. (Canberra, 1985). In: Proc. Centre Math. Anal., vol. 10, Australian Nat. Univ. Canberra, pp. 187–216 (1986)
Simon, L.: Existence of surfaces minimizing the Willmore functional. Commun. Anal. Geom. 1(2), 281–325 (1993)
Simon, L.: Lectures on geometric measure theory. In: Proc. Centre for Math. Analysis Australian National University, vol. 3, Canberra (1983)
Souam, R., Toubiana, E.: Totally umbilic surfaces in homogeneous 3-manifolds. Comment. Math. Helv. 84, 673–704 (2009)
Willmore, T.J.: Riemannian Geometry. Oxford Science Publications, Oxford University Press, Oxford (1993)