Giải pháp chính xác của phương trình Boltzmann trong gần đúng bình thường hóa, sự tồn tại của điện dẫn vi phân âm cho một số loại năng lượng băng và ý nghĩa của nó đối với phổ dao động và nhiệt độ tiếng ồn

Phương trình Boltzmann cho phân phối f_k của một hệ thống các hạt mang điện tuân theo thống kê cổ điển trong một trường đồng nhất F, $$\frac{{\partial f_k }}{{\partial t}} + F\frac{{\partial f_k }}{{\partial k}} = \smallint d^3 k'(W_{kk'} f_{k'} - W_{k'k} f_k ),$$ sẽ được giải một cách phân tích cho một lớp đặc biệt của các tỷ lệ chuyển tiếp W_{kk'} = const·h_k·ν_k·ν_{k'} cho bất kỳ phân phối ban đầu nào. h_k là phân phối Maxwell và ν_k > 0 có thể được hiểu là tần số thư giãn phụ thuộc k. Giả thiết thư giãn hằng số (ν_k = ν) sẽ được sử dụng để thảo luận về vận tốc trôi u cho tất cả các trường và nhiệt độ T cho những loại cấu trúc băng nhất định E(k). Các băng có sự phụ thuộc theo k tuyến tính cho k lớn dẫn đến các vận tốc trôi bão hòa đối với các trường lớn. Đối với các băng có tính chu kỳ của mạng đối xứng, định lý trôi bằng không đã được chứng minh. Nó tuyên bố rằng $$\mathop {\lim }\limits_{F \to \infty } u (F,T) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } u (F,T) = 0$$ cho tất cả các cấu trúc băng chu kỳ. Định lý này thậm chí đúng cho một W_{kk'} tổng quát nếu một số hạn chế được áp dụng. Cuối cùng, bằng cách sử dụng tính chất Markov của xác suất có điều kiện (hàm Green) giải của phương trình Boltzmann, phổ dao động tốc độ S được tính toán cho E(k)=A(1−cosa k). Sẽ được chứng minh rằng S(F, T, 0) vẫn dương cho trường quan trọng và tất cả các nhiệt độ, và do đó, nhiệt độ tiếng ồn phân kỳ khi tiến gần đến trường quan trọng.