Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Tổng Euler của các số siêu hàm nhiều chiều
Tóm tắt
Đối với k ≔ (k1, …, kr) ∈ ℕr và n, m ∈ ℕ, chúng tôi mở rộng định nghĩa của các số siêu hàm cổ điển để định nghĩa các số siêu hàm nhiều chiều $$ {\zeta}_n^{(m)}(k) $$ và tổng Euler của các số siêu hàm nhiều chiều ζ(m)(q; k)(m + 2 − k1 ≤ q ∈ ℕ). Khi k = (k) ∈ ℕ, các tổng này đã được Mezö và Dil nghiên cứu lần đầu vào khoảng năm 2010, tiếp theo bởi Dil và Boyadzhiev (2015), và gần đây hơn là bởi Dil, Mezö, và Cenkci, Can, Kargin, Dil, và Soylu, cùng với Li. Chúng tôi chứng minh rằng các số siêu hàm nhiều chiều $$ {\zeta}_n^{(m)}(k) $$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp của các tích của đa thức trong n bậc tối đa là m − 1 và các tổng siêu hàm cổ điển với độ sâu ≤ r, và chứng minh rằng các tổng Euler của các số siêu hàm nhiều chiều ζ(m)(q; k) có thể được tính bằng các giá trị zeta cổ điển với trọng số ≤ q + |k| và độ sâu ≤ r + 1.
Từ khóa
#số siêu hàm #tổng Euler #giá trị zeta #tổng siêu hàm cổ điển #đa thứcTài liệu tham khảo
J.M. Borwein, D.M. Bradley, and D.J. Broadhurst, Evaluations of k-fold Euler/Zagier sums: A compendium of results for arbitrary k, Electron. J. Comb., 4(2):1–21, 1997.
L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, Boston, 1974.
J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer, New York, 1996.
A. Dil and K.N. Boyadzhiev, Euler sums of hyperharmonic numbers., J. Number Theory, 147:490–498, 2015.
A. Dil, I. Mezö, and M. Cenkci, Evaluation of Euler-like sums via Hurwitz zeta values, Turk. J. Math., 41(6):1640–1655, 2017.
M.E. Hoffman, Multiple harmonic series, Pac. J. Math., 152(2):275–290, 1992.
M. Kaneko and Y. Ohno, On a kind of duality of multiple zeta-star values, Int. J. Number Theory, 8(8):1927–1932, 2010.
L. Kargin, M. Can, A. Dil, and G. Soylu, Euler sums of generalized hyperharmonic numbers, 2020, arXiv:2006.00620.
R. Li, Euler sums of generalized hyperharmonic numbers, 2021, arXiv:2103.10622.
I. Mezö and A. Dil, Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function, J. Number Theory, 130:360–369, 2010.
Y. Ohno and D. Zagier, Multiple zeta values of fixed weight, depth, and height, Indag. Math., New Ser., 12(4):483–487, 2001.
N. Ömür and S. Koparal, On the matrices with the generalized hyperharmonic numbers of order r, Asian-Eur. J. Math., 3:1850045, 2018.
C. Xu, Computation and theory of Euler sums of generalized hyperharmonic numbers, C. R., Math., Acad. Sci. Paris, 356(3):243–252, 2018.
C. Xu, Euler sums of generalized hyperharmonic numbers, J. Korean Math. Soc., 55(5):1207–1220, 2018.
C. Xu, X. Zhang, and J. Zhao, Evaluation of some sums involving powers of harmonic numbers, 2021, arXiv:2107.06864.
D. Zagier, Values of zeta functions and their applications, in A. Joseph, F. Mignot, F. Murat, B. Prum, and R. Rentschler (Eds.), First European Congress of Mathematics, Paris, July 6–10, 1992, Vol. II, Prog. Math., Vol. 120, Birkhäuser, Basel, 1994, pp. 497–512.
J. Zhao, Multiple Zeta Functions, Multiple Polylogarithms and Their Special Values, Ser. Number Theory Appl., Vol. 12, World Scientific, Hackensack, NJ, 2016.