Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Các bài toán giá trị riêng với trọng số trong không gian Lorentz
Tóm tắt
Xét V, w là các hàm khả tích cục bộ trên miền tổng quát Ω với V ≥ 0 nhưng w có thể thay đổi dấu, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của các trạng thái cơ sở cho bài toán giá trị riêng phi tuyến:
$$-\Delta u + V u = \lambda w |u|^{p-2} u, \quad u|_{\partial \Omega} =0,$$
với p là dưới ngưỡng. Những trạng thái này là các cực tiểu của thương số Rayleigh liên quan, sự tồn tại của chúng được đảm bảo theo các giả thiết phù hợp về trọng số w. Trong bài báo này, chúng tôi chỉ ra rằng một không gian có thể chấp nhận của các hàm trọng số được cung cấp bởi miền bù của các hàm mượt có hỗ trợ chặt trong không gian Lorentz
$${L(\tilde p,\infty)}$$
với
$${\frac{1}{{\widetilde p}} + \frac{p}{2^{\star}} =1}$$
. Điều này tổng quát hóa các kết quả trước đó và đưa ra các điều kiện đủ mới đảm bảo sự tồn tại của các điểm cực trị cho các bất đẳng thức Hardy-Sobolev tổng quát. Sự tồn tại một cách chung của một hàm riêng chính trong trường hợp tuyến tính p = 2 được áp dụng để nghiên cứu sự tách nhánh cho các bài toán nửa tuyến tính loại
$$-\Delta u= \lambda (a(x)u + b(x) r(u)),$$
trong đó a, b là các trọng số không xác định thuộc về một số không gian Lorentz, và hàm r có tính tăng trưởng dưới ngưỡng tại vô cực.
Từ khóa
#giá trị riêng #không gian Lorentz #trạng thái cơ sở #bất đẳng thức Hardy-Sobolev #bài toán nửa tuyến tínhTài liệu tham khảo
Allegretto W.: Principal eigenvalues for indefinite-weight elliptic problems on \({\mathbb {R}^N}\) . Proc. Amer. Math. Soc. 116, 701–706 (1992)
Alvino A., Lions P.-L., Trombetti G.: On optimization problems with prescribed rearrangements. Nonlinear Anal. 13, 185–220 (1989)
Ancona A.: Une propriété d’invariance des ensembles absorbants par perturbation d’un opérateur elliptique. Comm. PDE 4, 321–337 (1979)
Brezis H., Ponce A.: Remarks on the strong maximum principle. Differ. Integral Equ. 16, 1–12 (2003)
Brezis H., Vazquez J.L.: Blow-up solutions of some nonlinear elliptic problems. Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid 2, 443–469 (1997)
Brown K.J., Cosner C., Fleckinger J.: Principal eigenvalues for problems with indefinite weight function on \({\mathbb {R}^N}\) . Proc. Amer. Math. Soc. 109, 147–155 (1990)
Brown K.J., Tertikas A.: On the bifurcation of radially symmetric steady-state solutions arising in population genetics. Siam J. Math. Anal. 22, 400–413 (1991)
Courant, R., Hilbert, D.: Methods of mathematical physics. vol. I. Interscience Publishers, Inc., New York (1953)
Cuesta M.: Eigenvalue problems for the p-Laplacian with indefinite weights. Electron. J. Differ. Equ. 33, 1–9 (2001)
Deny J., Lions J.L.: Les espaces du type de Beppo Levi. Ann. Inst. Fourier Grenoble 5, 305–370 (1954)
Evans, L.C., Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions. In: Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton (1992)
Fleckinger J., Hernández J., de Thélin F.: Existence of multiple eigenvalues for some indefinite linear eigenvalue problems. Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. 7, 159–188 (2004)
Giacomoni J., Lucia M., Ramaswamy M.: Some elliptic semilinear indefinite problems on \({\mathbb R^N}\) . Proc. Roy. Soc. Edinb. 134, 333–361 (2004)
Heinonen, J., Kilpeläinen, Martio, O.: Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (1993)
Hunt R.: On L(p, q) spaces. Enseignement Math. 12(2), 249–276 (1966)
Kawohl B.: Symmetry results for functions yielding best constants in Sobolev-type inequalities. Discrete Contin. Dynam. Syst. 6, 683–690 (2000)
Kawohl B., Lucia M., Prashanth S.: Simplicity of the principal eigenvalue for indefinite quasilinear problems. Adv. Differ. Equ. 12, 407–434 (2007)
Lorentz G.G.: Some new functional spaces. Ann. Math. 51, 37–55 (1950)
Lucia M.: On the uniqueness and simplicity of the principal eigenvalue. Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. 16, 132–142 (2005)
Lucia M., Prashanth S.: Simplicity of principal eigenvalue for p-Laplace operator with singular indefinite weight. Arch. Math. (Basel) 86, 79–89 (2006)
Lucia, M., Ramaswamy, M.: Global bifurcation for semilinear elliptic problems. In: Chipot, M., Lin, C.S., Tsai, D.H. (eds.) Recent Advances in Nonlinear Analysis, pp. 197–216. World Scientific (2008)
Manes A., Micheletti A.M.: Un’estensione della teoria variazionale classica degli autovalori per operatori ellitici del secondo ordine. Boll. Un. Mat. Ital. 7, 285–301 (1973)
Nazarov A.I.: On the symmetry of extremals in the weight embedding theorem. Function theory and mathematical analysis. J. Math. Sci. (New York) 107, 3841–3859 (2001)
O’Neil R.: Convolution operators on L(p,q) spaces. Duke Math. J. 30, 129–142 (1963)
Rabinowitz P.H.: Some global results for nonlinear eigenvalues problems. J. Funct. Anal. 7, 487–517 (1971)
Simader, C.G.: On Dirichlet’s boundary value problem. In: An L p-Theory Based on a Generalization of Garding’s Inequality. Lecture Notes in Mathematics, vol. 268. Springer, Berlin-New York (1972)
Stein E.M., Weiss G.: Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. In: Princeton Mathematical Series, No. 32. Princeton University Press, Princeton (1971)
Szulkin A., Willem M.: Eigenvalue problems with indefinite weight. Stud. Math. 135, 191–201 (1999)
Tartar L.: Imbedding theorems of Sobolev spaces into Lorentz spaces. Boll. Unione Mat. Ital. Sez B Artic. Ric. Mat. 1, 479–500 (1998)
Tertikas A.: Critical phenomena in linear elliptic problems. J. Funct. Anal. 154, 42–66 (1998)
Visciglia N.: A note about the generalized Hardy–Sobolev inequality with potential in \({L^{p,d}(\mathbb {R}^n)}\) . Calc. Var. Part. Differ. Equ. 24, 167–184 (2005)