Nội dung được dịch bởi AI, chỉ mang tính chất tham khảo
Khoảng cách tới Tình Trạng Kém Đặt trong Tối Ưu Hóa Tuyến Tính thông qua Phép Biến Đổi Fenchel-Legendre
Tóm tắt
Chúng tôi xem xét không gian tham số của tất cả các hệ thống bất đẳng thức tuyến tính, trong không gian Euclid n chiều và với một tập chỉ số cố định, được trang bị với topo của sự hội tụ đồng nhất của các vector hệ số. Một hệ thống được xem là kém đặt liên quan đến tính nhất quán khi những biến đổi cực nhỏ tạo ra cả hệ thống nhất quán lẫn không nhất quán. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập một công thức để đo khoảng cách từ hệ thống danh nghĩa tới tập hợp các hệ thống kém đặt. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sử dụng lý thuyết phép biến đổi Fenchel-Legendre và chứng minh một sự tinh chỉnh của công thức trong Tài liệu 1 cho khoảng cách từ bất kỳ điểm nào tới biên của một tập hợp lồi.
Từ khóa
#hệ thống bất đẳng thức tuyến tính #tính nhất quán #kém đặt #khoảng cách #phép biến đổi Fenchel-Legendre #tối ưu hóa tuyến tính.Tài liệu tham khảo
COULIBALY, A., and CROUZEIX, J. P., On the Conditioning of a Convex Set and Its Representations, Unpublished Manuscript, 2002.
EPELMAN, M., and FREUND, R.M., Condition Number Complexity of an Elementary Algorithm for Computing a Reliable Solution of a Conic Linear System, Mathematical Programming, Vol. 88A, pp. 451–485, 2000.
FREUND, R.M., and VERA, J.R., Some Characterizations and Properties of the Distance to Ill-Posedness and the Condition Measure of a Conic Linear System, Mathematical Programming, Vol. 86A, pp. 225–260, 1999.
RENEGAR, J., Some Perturbation Theory for Linear Programming, Mathematical Programming, Vol. 65A, pp. 73–91, 1994.
ROCKAFELLAR, R.T., Convex Analysis, Princeton University Press, Princetion, New Jersey, 1970.
HIRIART-URRUTY, J.B., and LEMARECHAL, C. Convex Analysis and Minimization Algorithms, Vols. 1 and 2, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
GINCHEV, I., and HOFFMANN, A., Approximation of Set-Valued Functions by Single-Valued Ones, Discussions Mathematicae: Differential Inclusions, Control, and Optimizations, Vol. 22, pp. 33–66, 2002.
HIRIART-URRUTY, J.B., New Concepts in Nondifferentiable Programming, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 60, pp. 57–85, 1979.
HIRIART-URRUTY, J.B., Tangent Cones, Generalized Gradients, and Mathematical Programming in Banach Spaces, Mathematics of Operations Research, Vol. 4, pp. 79–97, 1979.
Zu, Y.J., Generalizations of Some Fundamental Theorems on Linear Inequalities, Acta Mathematica Sinica, Vol. 16, pp. 25–40, 1966.
CÁNOVAS, M.J., LÓPEZ, M.A., PARRA, J., and TOLEDO, F.J., Distance to Ill-Posedness and the Consistency Value of Linear Semi-Inifinite Inequality Systems, Mathematical Programming, Vol. 103A, pp. 95–126, 2005.
CÁNOVAS, M.J., LÓPEZ, M.A., PARRA, J., TOLEDO, F.J., Distance to Solvability/Unsolvability in Linear Optimizations, SIAM Journal on Optimization, Vol. 16, pp. 629-649, 2006.
RENEGAR, J., Linear Programming, Complexity Theory, and Elementary Functional Analysis, Mathematical Programming, Vol. 70A, pp. 279–351, 1995.